Ecuaciones De Rectas y Planos

ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
Coordenadas de un vector libre
→

Vamos a expresar las coordenadas de un vector AB , en función de las coordenadas de su origen A y su extremo B. r r Si representamos por u y v los vectores de posición de los puntos A y B, respectivamente, se tiene:
→ r r u + AB = v

A
r u

r r v -u

B

r v
r r AB = v - u
→

de donde:

O

→ r r AB = v - u

SiA (x, y, z ) y B (x’, y’, z’ ) son las coordenadas de los puntos A y B , sustituyendo estas coordenadas en
→

la expresión vectorial del vector AB se tiene:
→

AB = (x, y, z ) - (x’, y’, z’ ) = ( x’ - x, y’ - y, z’ - z )

Coordenadas del punto medio de un segmento
A
r u

M

B

Vamos a hallar las coordenadas del punto medio de un segmento, en función de las coordenadas de susextremos.
→

r m

r v

Sean A y B dos puntos distintos, AB el vector que determinan y M su punto medio, entonces se verifica:

→ 1 → AM = AB 2
O

1 r r r m = (u + v ) 2

r r r Si representamos por u , v y m los vectores de posición de A, B y M, respectivamente, se tiene:

→ 1→ r 1 r r r r r m = u + AM = u + AB = u + ( v − u ) 2 2

1 r r r m = (u + v ) 2

Si A (x, y, z ), B (x’, y’,z’ ) y M ( xm , ym , zm ) son las coordenadas de los puntos A, B y M, sustituyendo estas coordenadas en la expresión vectorial, se obtiene: ( xm , ym , zm ) =

1 2

[(x, y, z ) + (x’, y’, z’ )

es decir:

xm =

1 2

( x + x')

ym =

1 2

( y + y')

zm =

1 2

( z + z ')

ECUACIONES DE LA RECTA

Determinación lineal. r

r v
r v
A

Una recta r en el espacio quedadeterminada por un r punto A y un vector u no nulo, que se llama vector director o direccional de la recta.

r r (A, v )

r r (A, v ) se llama determinación lineal de la recta r.

Determinación lineal de una recta

Ecuación vectorial de la recta
Observando la figura de la izquierda, es evidente que un punto cualquiera X pertenece a la recta r(A, v ) si

r X

→ r AX y v son linealmentedependientes o proporcionales. Se cumple → r entonces que AX = λ v , siendo λ un número real.

r

r v
A

Sea la recta r que pasa por el punto A ( x1 , y 1 , z 1 ) y su vector r r r de posición es v = ( v1 , v 2 , v 3 ) . Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X (x, y, z) se tiene que:

r a

r x

r r r x - a = λv

de donde:

r v
O

r r r x =a + λv
ecuaciónvectorial de la recta

r Dando valores al parámetro λ se obtiene un conjunto de vectores libres x cuyos representantes tienen su origen en el punto O, y cuyos extremos X son puntos de la recta r.

Ecuaciones paramétricas de la recta
Si A ( x1 , y 1 , z 1 ) y X (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X, respectivamente, y r v = (a, b, c), sustituyendo estas coordenadas en la ecuaciónvectorial de la recta, se tiene: (x, y, z) =

( x1 , y 1 , z 1 )

+ t ( a, b, c ) de donde:

⎫ ⎪ y = y1 + t b ⎬ ⎪ z = z1 + t c ⎭ x = x1 + t a

t

∈ R

Son las ecuaciones paramétricas de la recta

Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior e igualamos, obtenemos:

x − x1 a

=

y − y1 b

=

z − z1 c

Ecuaciones de la recta en forma continua

Otra forma dedeterminar una recta r es mediante un punto A y dos vectores n y n' r r perpendiculares a r. El vector director de la recta se obtiene haciendo el producto vectorial de n y n ’. De esta forma, la recta r queda determinada linealmente del siguiente modo:

r

r

r r r (A, n ∧ n ’ )

Puntos alineados
Tres o más puntos del espacio están alineados cuando pertenecen a la misma recta. Sean A1 , A2 , A3 ,A4 , ......, An , n puntos; la condición necesaria y suficiente para que estén → → → → alineados es que los vectores A1 A 2 , A1 A 2 , A1 A 4 , ....., A1 A n sean proporcionales; es decir:

→ → → → A1 , A2 , A3 , A4 , ......, An están alineados ⇔ rango ( A1 A 2 , A1 A 2 , A1 A 4 , ....., A1 A n ) = 1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
→ La recta que pasa por dos puntos A y B...