Ecuaciones De Rectas Y Planos

ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
Coordenadas de un vector libre
→

Vamos a expresar las coordenadas de un vector AB , en función de las coordenadas de su origen A y
su extremo B.

A
r
u

rr
Si representamos por u y v los vectores de posición de los
puntos A y B, respectivamente, se tiene:

B

rr
v-u

→
r
r
u + AB = v

r
v

→
r
r
AB = v - u

→

r
r
AB = v - u

Ode donde:

Si A (x, y, z ) y B (x’, y’, z’ ) son las coordenadas de los puntos A y B , sustituyendo estas coordenadas en
→

la expresión vectorial del vector AB se tiene:
→

AB = (x, y, z ) - (x’, y’, z’ ) = ( x’ - x, y’ - y, z’ - z )

Coordenadas del punto medio de un segmento
A

M

B

Vamos a hallar las coordenadas del punto medio de un
segmento, en función de lascoordenadas de sus extremos.
→

r
u

r
m

r
v

Sean A y B dos puntos distintos, AB el vector que
determinan y M su punto medio, entonces se verifica:

→
1→
AM =
AB
2
O

1r
r
r
m=
(u + v )
2

rr
r
Si representamos por u , v y m los vectores de
posición de A, B y M, respectivamente, se tiene:

→
1→ r
1r r
r
r
r
m = u + AM = u + AB = u + ( v − u )
2
2

1r
r
r
m=(u + v )
2

Si A (x, y, z ), B (x’, y’, z’ ) y M ( xm , ym , zm ) son las coordenadas de los puntos A, B y M, sustituyendo
estas coordenadas en la expresión vectorial, se obtiene:
( xm , ym , zm ) =

1
2

[(x, y, z ) + (x’, y’, z’ )

xm =

es decir:

1
2

( x + x')

ym =

1
2

( y + y')

zm =

1
2

( z + z ')

ECUACIONES DE LA RECTA

Determinación lineal.
rUna recta r en el espacio queda determinada por un
r
punto A y un vector u no nulo, que se llama vector director o
direccional de la recta.

r
v
r
v
r
r (A, v )

A

r
r (A, v ) se llama determinación lineal de la recta r.

Determinación lineal de una recta

Ecuación vectorial de la recta
r

Observando la figura de la izquierda, es evidente que un punto cualquiera Xpertenece a la recta r(A, v ) si

r
X

r
v
A

r
a

r
x

r
v

→r
AX y v son linealmente dependientes o proporcionales. Se cumple
→
r
entonces que AX = λ v , siendo λ un número real.

Sea la recta r que pasa por el punto A ( x1 , y 1 , z 1 ) y su vector
r
rr
de posición es v = ( v1 , v 2 , v 3 ) . Si a y x son los vectores de
posición de los puntos A y X (x, y, z) se tiene que:r
r
r
x - a = λv

de donde:

r
r
r
x =a + λv
ecuación vectorial de la recta

O

r
Dando valores al parámetro λ se obtiene un conjunto de vectores libres x cuyos representantes
tienen su origen en el punto O, y cuyos extremos X son puntos de la recta r.

Ecuaciones paramétricas de la recta
Si A ( x1 , y 1 , z 1 ) y X (x, y, z) son las coordenadas de los puntos A y X,respectivamente, y
r
v = (a, b, c), sustituyendo estas coordenadas en la ecuación vectorial de la recta, se tiene:
(x, y, z) =

( x1 , y 1 , z 1 )

+ t ( a, b, c ) de donde:

⎫
⎪
y = y1 + t b ⎬
⎪
z = z1 + t c ⎭
x = x1 + t a

t

∈R

Son las ecuaciones paramétricas de la recta

Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior e igualamos, obtenemos:

x − x1
a

=

y − y1b

=

z − z1
c

Ecuaciones de la recta en forma continua

r

r

Otra forma de determinar una recta r es mediante un punto A y dos vectores n y n'
rr
perpendiculares a r. El vector director de la recta se obtiene haciendo el producto vectorial de n y n ’.
De esta forma, la recta r queda determinada linealmente del siguiente modo:

r
r
r (A, n ∧ n ’ )

Puntos alineados
Tres omás puntos del espacio están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
Sean A1 , A2 , A3 , A4 , ......, An , n puntos; la condición necesaria y suficiente para que estén
→
→
→
→
alineados es que los vectores A1 A 2 , A1 A 2 , A1 A 4 , ....., A1 A n sean proporcionales; es decir:

→
→
→
→
A1 , A2 , A3 , A4 , ......, An están alineados ⇔ rango ( A1 A 2 , A1 A 2 , A1 A 4 , ....., A1...