ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado, que tiene la forma o
En las ecuaciones cuadráticas tenemos la variable o incógnita (en este caso x) elevada al cuadrado, es decir, posee exponente 2 en alguno de sus términos.

En la ecuación cuadrática . El coeficiente es el que acompaña a la variable x elevada al cuadrado, b se encuentra siempre conla variante x o variante de primer grado y c es el término numérico o independiente.

Las ecuaciones pueden ser planteadas por problemas geométricos relativamente sesillos, como puede ser la determinación de un rectángulo cuya área sea igual a la de un cuadrado dado y cuyos lados cumplan una relación determinada. También existen problemas aritméticos que conducen al planteamiento de una ecuaciónde segundo grado, por ejemplo, si se quiere determinar dos números naturales consecutivos, N y N + 1, cuyo producto sea una cierta cantidad dada c, la formulación algebraica de esta condición, n (n+1)=c lleva a resolver la ecuación .
Existen varios métodos para la solución de una ecuación cuadrática:

Completando el cuadrado
Por factorización
Aplicando la forma cuadrática

Porfactorización: para resolver por factorización una ecuación de la forma , se debe:
Factorizar la ecuación dada como un trinomio de la forma ,
Despejar la incógnita de cada factor, para formar con estos valores el conjunto solución de la ecuación de la solución.
Recuerda: un producto de dos factores es cero, si y solo si una de los factores es cero. A .b = 0 si y solo si a = 0 ó b= 0.
Ejemplo: dada laecuación .
El miembro es un triangulo de la forma , luego:
1. Buscamos dos números M, m tales que M+m=10 y Mm= 24,
Existen varias posibilidades:
3x4=24
4x6=24
1x24=24
La única posibilidad que la suma de los factores sea 10 es la segunda opción, los números 4 y 6.
2. Para que la ecuación, la descomponemos en dos binarios, siendo el primer termino la raíz cuadrada de y sus segundostérminos los números encontrados: (x+6)(x+4)= 0.
3. Ya hecha la factorización, es fácil hallar sus raíces, igualando a cero cada uno de los factores, tenemos:
X+6=0 x+4=0
X= - 6 x= - 4

Respuesta: las raíces de la ecuación , que tiene como factorización (x + 6)(x + 4)= 0 son = - 6 y = -4.
Ejemplo= dada la ecuación 2 - 5-12=0, determina el conjunto solución por medio de factorización.
2 -5-12=0
1. Como el miembro es un trinomio , entonces multiplicamos y dividimos miembro a miembro por el coeficiente




2. Efectuamos las operaciones dejando indicada la del segundo término del trinomio:


Descomponiendo el término en dos factores donde el primer sumando de cada factor es la raíz cuadrada del término en , tenemos:




Sacamos factor común en los factores delnumerador que lo tengan y simplificamos:




Luego: (x-4)(2x+3)=0
Igualamos a cero cada factor: x-4=0 ó 2x+3= 0
Despejamos x en cada factor obteniendo: x=4 ó 2x=-3
X= -


De tal manera que la solución es S= 4, - , ó, = 4, = -

Completando el cuadrado:
Este método puede emplearse cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta o cuando no podemosencontrar los números apropiados para Factorizarla.

La ecuación cuadrática puede escribirse como ; si tenemos únicamente los dos primeros términos, vemos que faltaría un término para convertirse en un trinomio cuadrado perfecto.
El término que necesitamos para completar el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal,
= .


Nota: Para completar el cuadro de +bx, se suma lamitad del coeficiente de x, al cuadrado, es decir,


La forma general para hallar las raíces completando cuadrados en la ecuación
+ – c y - - c.



Ejemplo: encontrar las raíces de la ecuación:


Solución:

Paso 1: Hallamos el término que debemos agregar = = = = 9
Paso 2: Completamos el cuadrado teniendo en cuenta que debemos sumarlos en los dos lados de la expresión:
+...