Ecuaciones de segundo grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas

3.1. FORMA GENERAL


A ≠ 0
x es la incógnita **
a, b y c son coeficientes

Ejemplo:
Si b = 0 y/o c = 0 entonces se tiene una ecuación cuadrática incompleta.

Una ecuación se segundo grado o cuadrática tiene dos raíces a las que se les asigna los símbolos: x1 y x2respectivamente; de modoque el conjunto solución C.S. se escribe así: C.S. = {x1, x2}








3.2. FORMAS DE RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.
ECUACIONES INCOMPLETAS
Tienen raíces que son números reales (o simplemente raíces reales) Sólo si a y c son de signos opuestos.
Ejemplo: Resolver 2x2 - 18 = 0 ; a = 2 b = -18
Despejando x2: 2x2 = 18
x2 = 9
Los únicos números que elevados al cuadrado dancomo resultado 9 son 3 y -3, Luego: x1 = 3 x2 = -3
ó: C.S. = {3, -3}
ó: x = ± 3

Tiene raíces reales para cualquier valor real de sus coeficientes. Aquí una de las raíces siempre es CERO



Ejemplo: Resolver 6x2+ 12x = 0
Factor común x en el 1º miembro: → x (6x + 12) = 0
Igualamos cada factor a CERO:
** y: 6x + 12 = 0

Despejando: x =

Entonces: C.S. = {0; -2}

OBSERVACIÓNSi en la ecuación ax2 + bx + c = 0, b = 0 y c = 0, entonces la ecuación sería incompleta de la forma ax2 = 0 cuyas raíces siempre son iguales a CERO.

ECUACIONES COMPLETAS
1. RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN
Para esto se factoriza el trinomio generalmente por Aspa Simple, quedando dos factores **, los cuales igualamos a CERO cada uno, resultando dos ecuaciones de primer grado que resueltas nospermiten obtener las dos raíces de la ecuación cuadrática inicial













Ejemplo: Resolver x2 – 5x + 4 = 0
Factorizando por Aspa: x2 – 5x + 4 = 0
x -4
x -1
(x – 4) (x – 1) = 0

Igualando cada factor a CERO: x – 4 = 0 x = 4
x – 1 = 0 x = 1
Entonces: C.S. = {4; 1}
2. RESOLUCIÓN POR FÓRMULA GENERAL
Dada la ecuación ax2 + bx + c = 0, para despejar, debemostransformar el trinomio en un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP) para lo cual:
(1) Multiplicamos ambos miembros por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 x 4a
(2) Sumamos b2 a ambos miembros: 4a2x2 + 4abx + b2 + 4ac = 0 + b2
(3) Los tres primeros términos del primer miembro forman un TCP:
* (2ax + b)2 = b2 – 4ac
2ax + b = ±

(4) Despejando x:


Donde la expresión subradical b2 – 4ac recibe el nombrede DISCRIMINANTE (D), de modo que también podemos escribir que:

Dada la ecuación ax2 + bx + c = 0














Ejemplo: Resolver x2 + 5x + 4 = 0
Identificamos: a = 1 b = 5 c = 4
Calculamos el DISCRIMINANTE (D): D = b2 – 4ac
D = (-5)2 – 4 (1) (4)
D = 9
Reemplazamos datos en la FÓRMULA GENERAL:
**
x =

x =

x =






3.3. NATURALEZA DE LAS RAÍCES
Lanaturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, depende del valor del DISCRIMINANTE (D). Analicemos tres casos:

1º Discriminante positivo
Entonces las raíces son REALES y DIFERENTES
Es decir: Dada la fórmula general:



a y b son números reales; además como D > 0 entonces es un número real luego los valores de x son REALES y además DIFERENTES, porque una de las soluciones lashallamos con + y la otra la hallamos con - *










Ejemplo: en la ecuación x2 + 6x + 5 = 0
Calculemos DISCRIMINANTE: D = b2 – 4ac
D = (6)2 – 4 (1) (5)
D = 16, es decir D > 0







Correcto ¿Quieres que lo comprobemos?, Resolvamos entonces la ecuación:

Por la Fórmula General:
x =

x =

De donde: x1 = ; x2 =

Es decir C.S. = {-1; -5} ¡raíces reales ydiferentes!

2º Discriminante Nulo **

Entonces las raíces son REALES e IGUALES
Es decir: Dada la fórmula general: x =

Si D = 0: x =

es decir: x =

Como a y b son reales, entonces x tiene valor real.
Además, si la ecuación es de segundo grado, las dos raíces buscadas serán:
x1 = ; x2 = ¡raíces reales e iguales!













Ejemplo: En la ecuación: x2 –...