ecuaciones de segundo grado

ECUACIONES DE 2DO GRADO
Generalidades
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos.
La expresión general de una ecuación cuadrática de una variable es:

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b elcoeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola.
 
Ecuación de segundo grado completa   
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero. Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es 
 ax2 + bx + c = 0. 
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  o  c,  o ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado).
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax2 = 0;   si    b = 0    y    c = 0.
ax2 + bx = 0;    si    c = 0.
ax2 + c = 0;    si    b = 0.Métodos de solución
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:  
Solución por la fórmula general 
Para una ecuación cuadrática con coeficientes existen siempre dos soluciones, llamadas raíces. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar lasletras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula. La fórmula general sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta.


Donde el símbolo ± indica que los valores constituyen las dos soluciones.
La expresión (b2-4ac) es llamada de discriminante. El discriminante indica cómo serán las raíces de la ecuación:
- Si es mayor que cero, la ecuación tiene dossoluciones, con números reales distintos.
- Si es menor que cero, la ecuación no tiene solución.
- Si es igual a cero, la ecuación tiene una única solución.

Ejemplo:  
Resolver la ecuación  2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el (+) y con el (−):
  Y también      Así es que las soluciones son:





Solución por factorización
Cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cadafactor y se despeja la variable. 
Ejemplo
1) Resolver
(X + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(X + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si2x − 3 = 0
2x = 3

Si
x + 4 = 0
x = −4
2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si
x = 0
O si
X− 4 = 0
x = 4

Ecuaciones completando trinomio
Cuando no es posible factorizar la ecuación, se completa el trinomio cuadrado perfecto con la única finalidad de poderfactorizar al trinomio resultante. Al elevar un binomio al cuadrado se produce un trinomio cuadrado perfecto:

(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 o (a-b)^2= a^2 -2ab + b^2
Lo que haremos en el método será agregar el término independiente representado por “b^2” para que, al estar completo el trinomio cuadrado perfecto, éste se pueda factorizar como un binomio al cuadrado.
Ejemplos
Completa los...