Ecuaciones De Trabajo, Ley De Gauss

Ecuación de Trabajo.

Si la fuerza tiene la dirección del movimiento, la ecuación del trabajo, de acuerdo con su definición, es:

W = Fd,

En la cual:

W = Trabajo.
F = Fuerza en la dirección del movimiento.
d = Distancia recorrida.

Unidades de trabajo

De acuerdo con esta definición, las unidades en que se mide el trabajo deben estar formadas siempre por una unidad de fuerzamultiplicada por una unidad de longitud. En el Sistema Internacional de Unidades:

kgm/s

Nm = joule = J

Ley de Gauss.

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.Flujo del campo eléctrico.

El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo () se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir a con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campoeléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campoeléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme.

Supóngase unasuperficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:

El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de π, tiene un valor constante y los vectores son todosparalelos.

Entonces:

Siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente: da cero ya que las mismas lineas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior.

Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en sucentro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:

Forma integral de la Ley de Gauss.

Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es unelemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío.

Forma diferencial de la Ley de Gauss.

Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda:

Como ambos lados de la igualdadposeen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma mas general como

Finalmente es de...