Ecuaciones del estaado

PRACTICA TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL    Ya observamos la representatividad de una muestra y la importancia que este tiene dentro de la elección de la misma en  una  población,  ahora  comprobaremos  el  teorema  más  importante  de  la  estadística  inferencial  mediante  un  experimento, pero antes debemos recordar algunos conceptos importantes de la estadística vistos el curso anterior de estadística y probabilidad.    CONCEPTOS IMPORTANTES QUE SE DEBEN SABER:  o Variable Aleatoria.  o Esperanza matemática y función varianza  o Distribución normal.  o Parámetro y estimador.    Variable aleatoria: Es una variable donde valores que puede asumir son producto de un experimento donde el resultado es aleatorio. Por ejemplo los valores que podría asumir el experimento “lanzamiento de una moneda”, estos resultados  vienen dados por una incertidumbre es decir por una probabilidad de ocurrencia.    Esperanza  matemática  o  valor  esperado:  Se  define  como  el  resultado  promedio  que  se  puede  esperar  de  un  ∑   experimento aleatorio, en otras palabras es el promedio esperado de una variable aleatoria.  Nota:  Debido  a  que  la  variable  aleatoria  toma  todos  los  posibles  valores  del experimento,  este  promedio  es  un  parámetro.    Función  Varianza:  Se  define  como  la  variabilidad  o  dispersión  de  los  resultados  del  experimento  aleatorio.  ∑    Donde      Nota:  Debido  a  que  la  variable  aleatoria  toma  todos  los  posibles  valores  del  experimento,  este  promedio  es  un  parámetro.   Función de distribución Normal: Los datos de una variable aleatoria con distribución normal, se caracterizan por que la  distribución de frecuencias tiende a ser acampanada, su distribución es simétrica, las tres medidas de tendencia central  tienden a ser iguales (Media = Mediana = Moda), y es una variable de tipo continua.    Ya  habiendo  repasado  estos  conceptos  realicemos  el  siguiente  experimento  con  el  cual  se  llegará  a  la  principal conclusión del  Teorema del Límite Central que es la distribución muestral o de frecuencias de la media o promedio.  1. Asuma que Ud. tiene una población total que consta de 3 elementos (escoja 3 números naturales cualquiera)  2. Calcule el promedio de la población (µ) y la varianza de la población (σ2) (recuerde que estas dos mediciones se  tratan  de  parámetros,  puesto  que  son  indicadores  que  hacen  referencia  a  la población  por  Ud.  Definida  ¡Téngalos bien presente!)  3. Extraiga  de  esta  población  todas  las  posibles  muestras  de  tamaño  2  (use  el  concepto  de  muestreo  aleatorio  simple en donde todas las unidades de la población tiene la misma probabilidad de ser elegidas en la muestra)  4.Calcule el promedio para cada una de las muestras elegidas (Note que en total, debería de tener 9 promedios,  ya que es el total de muestras que se obtienen si su población consta de tres elementos, todos los promedios  derivados de las muestras son estimadores del parámetro promedio obtenido en el punto 2)  5. Elabore  una  tabla  de  frecuencias  con  los  promedios  obtenidos  en  el  punto  anterior,  Grafíquelos  (¿Que  distribución tiende a tener esta gráfica?)   Todo lo realizado hasta este momento hace parte de un experimento aleatorio, puesto que la selección de una de las  muestras se hace bajo el supuesto de que es escogida al azar. En la realidad le sería imposible escoger todas las posibles  muestras de un determinado tamaño en una población y además seria impráctico.    6. Como  ya  se  pudo  haber  intuido  por  lo  anterior,  el  promedio  como  estimador  tiene  una  distribución  de frecuencias que además sale de un procedimiento aleatorio, luego el promedio como estimador es una variable  aleatoria.  Calcule a la distribución de frecuencias del punto 5, la esperanza matemática y la varianza. 

  7. Demuestre que se cumplen las siguientes relaciones:          TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL:  Sea  X1,  X2,  …  ,  Xn,  una ...