ecuaciones dif parciales

Universidad Aut´noma de Madrid
o
Departamento de Matem´ticas
a

Primer Curso de

Ecuaciones en Derivadas Parciales
Ireneo Peral Alonso

1

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3

DEDICATORIA

A mi mujer, Magdalena,
y a mis hijas, Irene y Magdalena,
simplemente, porque las quiero y ellas son lo m´s importante para m´
a
ı.

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5

INDICE

Lista de s´
ımbolos
Pr´logo
o

9
11

´
Cap´
ıtulo1 : los ejemplos clasicos de ecuaciones en
´
derivadas parciales de la f´
ısica matematica
Introducci´n.
o
15
§1.1 La divergencia. Una manera de medir variaciones.
17
§1.2 El teorema de la divergencia de Gauss.
24
§1.3 Ecuaciones de difusi´n:La ecuaci´n del calor.
o
o
33
§1.4 Ecuaciones estacionarias: Las ecuaciones de Laplace y de Poisson
38
§1.5 Ecuaci´n de la cuerda vibrante.o
40
§1.6 Ecuaciones de Maxwell. La ecuaci´n de ondas.
o
42
§1.7 Ecuaciones de primer orden. Euler y las ecuaciones de la Mec´nica de Fluidos. 47
a
§1.8 Otros modelos f´
ısicos.
51
Ejercicios del Cap´
ıtulo 1.
53
Cap´
ıtulo 2: ecuaciones en derivadas parciales de primer orden:
el problema de cauchy
Introducci´n.
o
§2.1 Ecuaciones quasi lineales de primer orden
§2.2 Ecuaci´ngeneral de primer orden.
o
§2.3 Clasificaci´n de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden.
o
§2.4 El teorema de Cauchy-Kovalevsky.
Ap´ndice al Cap´
e
ıtulo 2.
Problema de Cauchy para la ecuaci´n general de primer orden en RN .
o
Ejercicios del Cap´
ıtulo 2.

55
57
70
84
94
102
106

Cap´
ıtulo 3: problema de sturm-liouville. series e integrales de fourier.
´
´metodo de separacion de variables.
Introducci´n.
o
113
§3.1 Problemas de contorno de segundo orden.
Teorema de la alternativa. Funci´n de Green.
o
118
§3.2 Problemas autoadjuntos: El problema de Sturm-Liouville. Autovalores.
132
§3.3 El problema de Dirichlet para la ecuaci´n de Laplace en el disco unidad de R2 .
o
Convergencia de series de Fourier.
153

6

§3.4 Problemas mixtos parala ecuaci´n del calor en una dimensi´n espacial.
o
o
§3.5 Problemas de contorno para la ecuaci´n de ondas: la cuerda vibrante.
o
§3.6 El problema de Dirichlet en el semiplano positivo.
La transformaci´n de Fourier.
o
Ejercicios del Cap´
ıtulo 3.
´
Cap´
ıtulo 4: la ecuacion de ondas en dimensiones espaciales uno dos
tres. el problema de Cauchy.
Introducci´n.
o
§4.1 La ecuaci´n deondas en dimensi´n uno. F´rmula de D’Alambert.
o
o
o
§4.2 La ecuaci´n de ondas en dimensi´n espacial tres.
o
o
M´todo de las medias esf´ricas.
e
e
§4.3 El problema de Cauchy en dimensi´n espacial dos.
o
M´todo de descenso de Hadamard.
e
§4.4 La ecuaci´n de ondas no homog´nea.
o
e
§4.5 Energ´ y unicidad. Dependencia de la ecuaci´n de ondas de la dimensi´n.
ıa
o
o
Ejercicios delCap´
ıtulo 4.

175
184
188
201
y
211
213
216
222
224
226
234

´
Cap´
ıtulo 5: la ecuacion de laplace. el problema de dirichlet.
Introducci´n.
o
§5.1 Representaci´n integral de funciones. Funci´n de Green.
o
o
§5.2 El problema de Dirichlet en una bola de RN .
§5.3 C´lculo de la funci´n de Green en dominios con simetr´
a
o
ıas
§5.4 Propiedades de las funcionesarm´nicas.
o
§5.5 El problema de Dirichlet en dominios generales. M´todo de Perron.
e
§5.6 La ecuaci´n de Poisson.
o
Ejercicios al Cap´
ıtulo 5.

239
241
246
251
254
261
275
283

´
Cap´
ıtulo 6: la ecuacion del calor.
Introducci´n.
o
§6.1 N´cleo de Gauss. Construcci´n de soluciones.
u
o
§6.2 El principio del m´ximo. Resultados cl´sicos de unicidad.
a
a
§6.3 El problema deCauchy no homog´neo.
e
§6.4 Temperaturas positivas.
Ejercicios del Cap´
ıtulo 6

291
293
299
303
312
319

Indice Alfab´tico
e
Bibliograf´
ıa

327
333

7

8

9

LISTA DE SIMBOLOS

R N´meros reales
u
RN Espacio eucl´
ıdeo N-dimensional
R3 Espacio eucl´
ıdeo 3-dimensional
R2 Espacio eucl´
ıdeo 2-dimensional
R2 Semiplano con segunda coordenada positiva
+
RN +1...