Ecuaciones dif

TEMA 2-ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN 1
2.1 - Ecuaciones diferenciales elementales 2.1.1 - Ecuaciones separables Denición: Una EDO de orden 1 F (t, y, y ) se dice separable si puede
ser escrita de la forma

A(t)dt = B(y)dy

y =

A(t) , y = C(t)D(y) B(y)

Resolución:
A(t)dt =
t

B(y)dy + K
y

A(t)dt =
t0 y0

B(y)dy

Ejercicio: El ritmo al que se enfría uncuerpo caliente es proporcional
a la diferencia de temperatura entre él y el ambiente que lo rodea (ley de enfriamiento de Newton). Un cuerpo se calienta a 110o C y se expone al ambiente a una temperatura de 10o C. Al cabo de una hora su temperatura es de 60o C. ¾Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfríe a 30o C?

2.1.2 - Ecuaciones reducibles a separables 2.1.2.1 - Ecuacioneshomogéneas Denición: f (x, y) es una función homogénea de grado n si
f (λx, λy) = λnf (x, y)

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Denición: Una EDO de primer orden
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.

Nota: Deniciones equivalentes a la anterior son:
• y = f (x, y) es homogénea si f (x, y) es homogénea de grado 0 y •y =f x y Resolución: Con el cambio u = se llega auna ecuación diferencial x
de variables separables.

2.1.2.2 - Ecuaciones reducibles a homogéneas
y = at + by + c dt + ey + f y =f at + by + c dt + ey + f

• c = f = 0 es homogénea • b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables • ae − bd = 0

Resolución: Se hace el cambio
t = x + t0 y = u + y0
donde (t0 , y0 ) es el punto de corte de las rectas at + by + c = 0 y

dt + ey + f = 0 •ae = bd

Resolución: Si b = 0 se hace el cambio u = at + by
Si e = 0 se hace el cambio u = dt + ey

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2.1.3 - Ecuaciones diferenciales exactas Denición: Una ecuación diferencial M (t, y)dt+N (t, y)dy = 0 es exacta si existe una función F (t, y), llamada función potencial de la ecuación diferencial, cuya diferencial coincide con M (t, y)dt + N (t, y)dy , es decir

∂F ∂F = M (t, y) y = N(t, y) ∂t ∂y

∂M ∂N , son continuas en un rectángulo R del ∂y ∂t plano, entonces M dt + N dy = 0 es exacta en R si y sólo si

Teorema: Si M , N ,

∂M ∂N = en R ∂y ∂t

Resolución: Podemos proceder de dos formas.
1. Si sabemos calcular

M (t, y)dt, tendremos M (t, y) dt + g(y) ∂ ∂y M (t, y) dt
(1) (2)

F (t, y) =

=⇒ g (y) = N (t, y) −

Integrando (2) y sustituyendo en (1)obtenemos F (t, y). La solución de la ecuación es F (t, y) = C . 2. Si sabemos calcular

N (t, y) dy , tendremos N (t, y) dy + h(t) ∂ ∂t N (t, y) dy
(3) (4)

F (t, y) =

=⇒ h (t) = M (t, y) −

Integrando (4) y sustituyendo en (3) obtenemos F (t, y). La solución de la ecuación es F (t, y) = C .

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2.1.4 - Ecuaciones reducibles a exactas Denición: Sea M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0 unaecuación diferencial
no exacta, y sea µ(t, y) una función no nula en cada punto de un cierto rectángulo R y tal que µ(t, y)M (t, y)dt + µ(t, y)N (t, y)dy = 0 es exacta. Entonces se dice que µ(t, y) es un factor integrante para M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0, y de esta ecuación se dice que es reducible a exacta.

Búsqueda de factores integrantes:
∂ (µM ) ∂ (µN ) = ∂y ∂t
es decir

µ • µ = µ(t)

∂M ∂µ∂N ∂µ +M =µ +N ∂y ∂y ∂t ∂t
a(t)dt

µ=e • µ = µ(y) µ=e

, a(t) =

1 N 1 M

∂M ∂N − ∂y ∂t ∂N ∂M − ∂t ∂y

b(y)dy

, b(y) =

• µ = µ(ν), ν = at + by ∂N ∂M − ∂t ∂y c(ν)dν µ=e , c(ν) = bM − aN

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2.2 - Ecuaciones lineales Denición: Una EDO de primer orden de la forma
dy = P (t)y + Q(t) dt
es una ecuación lineal.

Resolución: Se puede encontrar un factor integrante
µ(t) = e
−P(t)dt

.

2.3 - Reducción del orden 2.3.1 - Ausencia de variable dependiente
Si no aparece la y , la ecuación es de la forma f (t, y , y ) = 0.

Resolución: Se hace el cambio
y =p y = dp dt t, p, dp dt = 0.

y la ecuación diferencial queda de la forma f

2.3.2 - Ausencia de variable independiente
Si no aparece t, la ecuación es de la forma f (y, y , y ) = 0.

Resolución: Se hace...