Ecuaciones Difenciales Ordinales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Mg. Lord Barrera Bocanegra

1.

Ecuaciones de Primer Orden

Un modelo de crecimiento poblacional se basa en la hipótesis de que la rapidez de crecimiento de la población es directamente proporcional al tamaño de población. Esta hipótesis también involucra a población de bacterioas o de animales bajo condiciones ideales. Identificaremos los nombres deestas variables en el modelo:

t = tiempo (variable independiente) P = número de individuos de la población (variable dependiente) La rapidez de crecimiento de la población es la derivada dP/dt. Así que nuestra hipótesis que la rapidez de crecimiento poblacional es proporcional al tamaño de la población se escribe como dP = kP dt (1.1)

donde k es la constante de proporcionalidad. La ecuación(1.1) es nuestro primer modelo para el crecimiento poblacional; esta es una ecuación diferencial porque contiene una función conocida P y su derivada dP/dt.

Teniendo formulado este modelo miremos sus consecuencias. Si nuestra población no es cero, entonces P(t) > 0 para todo t. O sea que, si k > 0, la ecuación (1.1) muestra que P′ (t) > 0 para todo t. Esto indica que la población es siemprecreciente. En realidad, como P(t) crece, la ecuación (1.1) muestra que dP/dt es cada vez más grande. En otras palabras, la rapidez de crecimiento va en aumento. Ahora pensemos en una solución de la ecuación (1.1). Esta ecuación nos pide hallar una función cuya derivada es un múltiplo del mismo. Sabemos de matemática I que la función exponencial tiene esta propiedad. En realidad, si tenemos P(t) =Cekt , entonces P′ (t) = C (kekt ) = k(Cekt ) = kP(t) Así que cualquier función exponencial de la forma P(t) = Cekt es una solución de la ecuación (1.1) ¡no hay otra solución!

P
Aunque C puede ser cualquier número real, conseguimos una familia de soluciones P(t) = Cekt cuyas gráficas se muestran en la figura derecha.

t

Desde que las poblaciones solo tienen valores positivos, nos debeinteresar sólo aquellas soluciones con C > 0. Esto probablemente involucre solo a valores t mayores que el tiempo inicial t = 0.

P

t

Para t = 0 conseguimos P(0) = Cek(0) = C; así que la constante C se convierte en la población inicial P(0). 2

1.1. Definiciones y ejemplos

Definición 1.1. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma dy = f ( x, y) (1.2) dx ousando la notación con primas es y′ = f ( x, y)

Ejemplo 1.1. Las siguientes ecuaciones son de primer orden (i) dy = 5x + y dx (ii) dy y =3 x dx (iii) dy sen y = cos x dx (iv) x2 dy = 1+y dx

Definición 1.2. Una solución de la ecuación diferencial (1.2) es una función y = y( x ) que satisface la ecuación (1.2). Por tanto, debido a que y = y( x ) es solución de (1.2), debemos tener d [y( x )] = f( x, y( x )) dx La función y = x + 1 + Ce x es una solución de la ecuación y′ = y − x . En efecto, y′ = d ( x + 1 + Ce x ) = 1 + Ce x dx 3

Ejemplo 1.2. diferencial

Por otro lado, si reemplazamos la expresión de y en el lado derecho de la ecuación difrerencial tenemos y − x = ( x + 1 + Ce x ) − x = 1 + Ce x

En general, una ecuación diferencial de primer orden tiene una solucióninvolucrando un a constante arbitraria. Tal solución es llamada solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la solución x + 1 + Ce x es llamada solución general de la ecuación y′ = y − x. Gráficamente, la solución general de una ecuación diferencial está representada por una familia de curvas llamada solución o curvas integrales de la ecuación diferencial. La figura derecha muestra seis curvassolución de la ecuación diferencial para algunos valores de C.

Podemos obtener una solución particular de una ecuación diferencial eligiendo un valor particular de una constante arbitraria. Usualmente requerimos que nuestra ecuación diferencial satisfaga una condición inicial y( x0 ) = y0 . Geométricamente, la solución del problema con valor inicial  dy  = f ( x, y) dx  y ( x0 ) = y0 es la...