Ecuaciones Diferencailes

ANÁLISIS NUMÉRICO

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR MÉTODOS NUMÉRICOS

REALIZADO POR
INGENIERO
EBERTO DARIO PORTO MASS

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE CECAR
FACULTAD DE INGENIERÍA
SINCELEJO, 2009

TABLA DE CONTENIDO

1.ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICA.................................................................................. 2
1.1.MÉTODO DEEULER........................................................................................................................ 2
1.2.MÉTODO DE HEUN.......................................................................................................................... 4
1.3.MÉTODO DE RALSTON................................................................................................................... 51.4.MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE 3 ORDEN................................................................................... 6
1.5.MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE 4 ORDEN................................................................................... 8

ANÁLISIS NUMERICO
ING E.PORTO

1

1.

ECUACIONES DIFERENCIALES NUMÉRICA
Las ecuaciones compuestas de una función incógnita y su respectiva derivadase denominan
ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones juegan un papel muy importante en la ingeniería
ya que muchos fenómenos físicos, químicos y de comportamiento se formulan en términos
de estas.
Se tratarán a continuación los métodos numéricos para solucionar ecuaciones diferenciales
dy
= f  x , y  , pero también aplicables a
ordinarias de primer orden de la forma
dx
ecuacionesdiferenciales de orden superior.

1.1.

MÉTODO DE EULER

El método de Euler utiliza una aproximación lineal para extrapolar a partir de un valor actual a
un valor siguiente. A continuación se ilustra este método de manera gráfica
Y

y i 1

yi

xi

X

x i 1

Ilustración 1 Esquema gráfico del método de Euler

Si se aplica una ecuación lineal de punto-pendiente, el valor de lasiguiente aproximación
y i1 viene dado en función del valor actual y i como
y i1 = y i k ∗ x

(1 )

donde k es la pendiente de la recta y  x el tamaño de paso en el cálculo de la solución.
Si se aproxima la pendiente de la recta a la derivada de la función, entonces la ecuación (1)
se puede expresar como
y i 1 = y i  f  x i , y i ∗ x

(2 )

donde f  x i , y i  es laderivada en el punto actual donde se quiere calcular la siguiente
aproximación.
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2

A la ecuación (2) se le conoce como método de Euler y predice un nuevo valor de Y usando
la pendiente (primera derivada en los valores actuales de X y Y) para extrapolar linealmente
con un tamaño de paso  x .
dv
c
= g − ∗ v , que
dt
m
representa la caída de un cuerpo, donde ves la velocidad del cuerpo, g la aceleración de
la gravedad, c el coeficiente de fricción del cuerpo con el viento y m la masa del cuerpo
Se quiere encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial

Suponiendo que el cuerpo parte de reposo, es decir v  t = 0  = 0 , además que el coeficiente
de fricción del cuerpo con el viento es c = 12.5 Kg/seg y que la masa del cuerpo es m =68Kg, la ecuación diferencial se transforma en
dv
= 9.8 − 0.184∗v
dt
En esta ecuación la variable independiente es el tiempo
velocidad v

t y la variable dependiente la

Si se trabaja con un tamaño de paso igual a 0.1, la solución numérica será
v 2 = v 1

dv
dt

]

∗ x
v 1 , t 1

v 2 = 0 9.8− 0.184∗0 ∗0.1 = 0.98
El valor de v 3 se calcula como
v 3 = v 2

dv
dt

]∗ x

v 2 , t 2 

v 3 = 0.98 9.8−0.184∗0.98  ∗0.1 = 1.942
En la siguiente tabla se muestra el resumen de cálculos para los siguientes valores de t y v
t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
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v
0
0,9800
1,9420
2,8862
3,8131
4,7230
5,6161
6,4927
7,3533
8,1980
9,0271
3

1.2.

MÉTODO DE HEUN

Un método para mejorar la...