Ecuaciones Diferencales

ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción a las ecuaciones diferenciales

E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.

Una ecuación diferencial es una expresión matemática en la que intervienen derivadas de una o más funciones. De acuerdo con el Teorema Fundamental del Cálculo, se afirma que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Significa que para toda función continua integrable severifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. La aplicación de este teorema a las Ecuaciones Diferenciales implica que es posible obtener una función a partir de la integración de una ecuación diferencial. A este proceso se le denomina la solución de una ecuación diferencial, existiendo diferentes métodos de solución de acuerdo al tipo de ecuación diferencial a resolver. Las ecuacionesdiferenciales y su solución representan una de las herramientas fundamentales en el estudio de diversos campos del conocimiento, y en especial en las diversas ramas de la ingeniería: física, mecánica, economía, química, electricidad, electrónica, metalurgia, etc. En lo referente a Ingeniería Química, su aplicación es imprescindible en la solución de problemas en diversos temas: termodinámica,balance de materia y energía, fenómenos de transporte (transferencia de calor, transferencia de masa, transferencia de cantidad de movimiento), cinética química, ingeniería de reactores, operaciones unitarias, diseño de equipos y procesos, control de procesos, optimización, etc. A continuación se ilustran algunos ejemplos de aplicación de las ecuaciones diferenciales que describen modelos físicos eningeniería, con el propósito de ilustrar algunas de sus diversas aplicaciones. El desarrollo de modelos de aplicaciones en ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales requiere del estudio de cada disciplina en particular, y solicita del alumno destreza en el manejo del cálculo diferencia e integral. En realidad, el estudio avanzado en ingeniería requiere que el estudiante desarrolle sólidosconceptos en ecuaciones diferenciales. Por ejemplo: a) En física clásica, la distancia vertical s recorrida por un cuerpo que cae por acción de la gravedad terrestre g durante un tiempo t se describe por la ecuación diferencial:

d 2s  g dt 2
b) El desplazamiento vertical x de una masa m sujeta a un resorte con constante de Hook de elasticidad k se escribe:

m

d2x   kx dt 2

c) Enfenómenos de transporte, la ecuación de continuidad representa un balance de masa en un elemento diferencial de volumen, teniendo el sistema una densidad  y movimiento a velocidad v

COMISION ACADEMIA DE MATEMATICAS

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    ( v ) t
d) La denominada Ecuación de Onda se aplica en la teoría electromagnética en relación al fenómenode propagación de ondas. El concepto parte del análisis elemental del comportamiento vibratorio u oscilatorio de cuerdas:

2u 2u  c2 2 t 2 x
e) La transferencia de calor por conducción en tres dimensiones, en un sistema con conductividad térmica k y temperatura T se describe por:

T 2T 2T 2T 2  k T  k   t x 2 y 2 z 2

FG H

IJ K

f) En un reactor químico, se plantea unbalance de masa en un elemento diferencial del sistema, donde se incluye a los términos de acumulación de materia como la derivada de la concentración C en función del tiempo, el transporte convectivo asociado a la velocidad v del fluido, el transporte difusivo J y velocidad de reacción R para el compuesto j:

C j t

   Cj v    J j  Rj

d i

Se debe observar que en elplanteamiento de la solución de problemas en ingeniería donde interviene una ecuación diferencial, ésta representa un modelo que describe el comportamiento de las propiedades del sistema, es decir representa un modelo del sistema a nivel diferencial. Una de las tareas más importantes en ingeniería constituye la elaboración y estudio de los modelos diferenciales que describen a los sistemas, y proceder a su...