ecuaciones diferencial
orden
Forma normal:
dx1
= a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + + a1n (t ) xn + f1 (t )
dt
dx2
= a21 (t ) x1 + a22 (t ) x2 + + a2 n (t ) xn + f 2 (t )
dt
dxn
= an1 (t ) x1 + an2 (t ) x2 + + ann (t ) xn + f n (t )
n1
n2
dt
Supondremos que los coeficientes aij(t) y las funciones fi(t)
son continuas en un intervalo I. Si todas las f's son cerodiremos que el sistema lineal es homogéneo.
Forma matricial
a11 (t ) a12 (t ) a1n (t )
x1 (t )
a21 (t ) a22 (t ) a2 n (t )
x2 (t )
, A(t ) =
, F (t ) =
X=
a (t ) a (t ) a (t )
x (t )
n1
n
n2
nn
f1 (t )
f 2 (t )
f n (t )
x1 (t ) a11 (t ) a12 (t ) a1n (t ) x1 (t )
d x2 (t ) a21 (t ) a22 (t ) a2 n (t ) x2 (t )
+
=
dt
x (t ) a (t ) a (t ) a (t ) x (t )
n2
nn
n
n n1
X′ = AX + F
El sistema homogéneo
asociado será:
f1 (t )
f 2 (t )
f n (t )
X′ = AX
x
Si X = ,
y
dx
= 3x + 4 y
dtdy
= 5x − 7 y
dt
x
Si X = ,
y
dx
= 3x + 4 y
dt
dy
= 5x − 7 y
dt
3 4
X′ =
X
5 − 7
x
Si X = ,
y
dx
= 3x + 4 y
dt
dy
= 5x − 7 y
dt
x
Si X = y ,
z
dx
= 6x + y + z + t
dt
dy
= 8 x + 7 y − z + 10t
dt
dz
= 2 x + 9 y − z + 6t
dt
3 4
X′ =
X
5 − 7
x
Si X = ,
y
dx
= 3x + 4 y
dtdy
= 5x − 7 y
dt
x
Si X = y ,
z
dx
= 6x + y + z + t
dt
dy
= 8 x + 7 y − z + 10t
dt
dz
= 2 x + 9 y − z + 6t
dt
3 4
X′ =
X
5 − 7
6 1 1
t
X′ = 8 7 − 1 X + 10t
2 9 − 1
6t
DEFINICIÓN
Vector solución
Un vector solución en un intervalo I es cualquier
vector columna
x1 (t )
x2 (t ) X=
x (t )
n
cuyos elementos son funciones diferenciables que
satisfacen el sistema de EDOs en el intervalo I.
Compruebe que en (−∞, ∞)
3 6t 3e6t
1 − 2 t e − 2 t
X1 = e = −2t , X 2 = e = 6t
5e
− e
5
− 1
1 3
son soluciones de: X′ =
X
5 3
Compruebe que en (−∞, ∞)
3 6t 3e6t
1 − 2 t e − 2t
X1 = e = −2t , X 2 = e = 6t
5e
− e
5
− 1
1 3
son soluciones de: X′ =
X
5 3
Solución
18e6t
− 2e − 2 t ,
X′2 =
De X′ =
1
30e6t tenemos
2e − 2 t
1
AX1 =
5
1
AX 2 =
5
3 e − 2t e − 2t − 3e − 2t − 2e − 2t
− 2t = − 2t
1
− e 5e − 3e −2t = 2e − 2t = X′
3
3 3e6t 3e6t + 15e6t 18e6t
6t = 6t
5e 15e + 15e6t = 30e6t = X′2
3
Problemas de valor inicial (PVI)
x1 (t0 )
x2 (t0 )
Sea X(t0 ) =
,
x (t )
n 0
γ1
γ 2
X0 =
γ
n
Resolver:
X′ = A(t ) X + F (t )
sujeto a :X(t0) = X0
es un PVI.
TEOREMA
Existencia de una solución única
Sean las componentes de A(t) y F(t) funciones
continuas en un intervalo común I que contiene a t0.
Entonces podemos asegurar que existe una solución
única de nuestro sistema en I.
TEOREMA
Principio de superposición
Sean X1, X2,…, Xk un conjunto de soluciones de
un sistema homogéneo en I, entonces:
X = c1X1 + c2X2+ … + ckXk
es también una solución en I.
cos t
0
t
Verifique que: X1 = − 1/2 cos t + 1/2 sin t , X 2 = e
0
− cos t − sin t
1
1 0
son soluciones de X′ = 1 1 0 X
− 2 0 − 1
y que entonces:
cos t
0
t
X = c1X1 + c2 X 2 = c1 − 1/2 cos t + 1/2 sin t + c2 e
− cos t − sin t
0
...
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