Ecuaciones Diferenciale

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONEsS DIFERENCIALES
Marcelo Romo Proaño
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Capítulo III
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
3 .1

INTRODUCCIÓN:

La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar expresiones equivalentes
que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas
ecuaciones.
En otrostérminos, la determinación de las “Funciones Primitivas ” constituye la parte
fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales.
Ejemplo 1:
Dada la siguiente ecuación diferencial:
dy
= 2x − 1
dx

La resolución de dicha ecuación consiste en encontrar la función que, sin contener derivadas o
diferenciales, sea equivalente a la expresión anterior.
Inmediatamente se cae en cuenta que, paraencontrar la solución, solamente se requiere
integrar la expresión previa, obteniéndose la siguiente función primitiva:
y = x2 − x + C
Donde:
C:

Constante de integración arbitraria

La última expresión constituye una familia de curvas parabólicas, con eje focal paralelo al eje
“y ”, coincidente con la recta “x=1/2 ”, cuyo gráfico se presenta a continuación.

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La posición vertical del foco de cada parábola de la familia dibujada (también la posición
vertical del vértice de las curvas especificadas) depende del valor asignado a la constante
arbitraria de integración “C”.
La tabla que sirve de base para la generación del gráfico anterior se la puedeelaborar en una
hoja electrónica con un contenido similar al siguiente:

En ocasiones, la solución de las ecuaciones diferenciales puede basarse en procesos de simple
integración como el que se presentó en el ejemplo previo; alternativamente se puede recurrir a
procesos de derivación; en otras circunstancias se pueden utilizar artificios matemáticos que
dependerán de la forma general de lasecuaciones, y en otras ocasiones se utilizarán
propiedades especiales de las ecuaciones diferenciales.
Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ecuación
diferencial, puede resultar conveniente la utilización de métodos numéricos que nos permitan
entender su comportamiento, e inclusive pueden favorecer la obtención de una representación
gráfica.Problema Resuelto 1*:
Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial
planteada.
y = 2e 3x + 1 Función solución
dy
= 3y − 3 Ecuación diferencial
dx

Solución:
Calculando la primera derivada de la función solución:
dy
= 6e 3x
dx

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial.

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dy
= 3y − 3
dx
dy
6dx8
7
3x

( 6e

6 74
4y 8
) = 3( 2e 3x + 1) − 3

Simplificando:
6e 3x = (6e 3x + 3) − 3
6e 3 x = 6e 3 x + 3 − 3
6e 3x = 6e 3x Verificado

NOTA 1: Se ha verificado que la función es solución de la ecuación diferencial mediante
derivación de la función y reemplazo de lafunción y su derivada en la ecuación diferencial.
Al obtenerse una identidad se verifica la hipótesis del problema.
NOTA 2: Es importante notar que la función presentada no es la única solución de la
ecuación diferencial. Cualquier valor que preceda a la expresión exponencial “e 3x ” cumplirá
con la ecuación diferencial, por lo que una solución general sería:
y = A.e 3x + 1 Función solucióngeneral
Donde:
A:

Constante arbitraria

Problema Resuelto 2:
Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial
planteada.
y = 2x

Función solución

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dy
y
= 2 Ecuación diferencial
dx
x

Solución:
Calculando la...