Ecuaciones diferenciales -aplicacion

Problema 1 Hallar la curva que pase por el punto (0,1) y que la sub. Tangente sea igual a la suma de las coordenadas del punto de contacto
Solución: Sea ST = sub. Tangente
Por condición del problema:
(1)
Pero (2)
La ecuación de la recta tangente:
(3)
Cuando en (3):

(4)(4) en (2):
La ecuación de la sub. Tangente: (5)
(5) en (1):
Ahora sea y además
Ordenando: (6) Ecc. Homogénea.
C. V. Y su diferencial en (6):

Queda:
Se tiene: pero (7)
Por condición del problema en (7):Se halla que Finalmente

Problema 2 Hallar la curva sabiendo que la suma de los segmentos que intercepta la tangente a la misma en los ejes coordenados es constante e igual a “2a”.
Solución: por condición del problema (*)
La ecuación de la recta tangente:

Ahora:
Cuando

CuandoReemplazando Y, X en (*):

Sea y

(Ecuación diferencial del problema)
Ordenando: (1)
C. V. (2) y (3)
(2) en (1): (4)
Diferenciando (4): (5)
(3) en (5):
Reduciendotérminos semejantes:
De donde:
Primero: luego de integrar: (6)
Segundo: luego de despejar: (7)
Se reemplaza (7) en (4):
Simplificando
Finalmente luego de ordenar:


Problema 3 Hallar la curva que tenga un segmento de tangente cuya longitud seaigual a la distancia desde el punto de contacto hasta el origen de coordenadas.

Solución: por condición del Problema:
(1)
Según Pitágoras:
Para (2)
Para (3)
El segmento (4)
La recta tangente:
Cuando
De donde (5)
(5) en (4): (6)
(6) en (3): (7)
(7)y (2) en (1): //

Ordenando integrando
Por propiedad de logaritmos:


Problema 4 La normal en el punto P(x, y) de una curva corta al eje de las “x” en “M” y al eje “y” en “N”; hallar la ecuación de las curvas para las cuales P es el punto medio de

por condición del problema: (*)La ecuación de la recta Normal:

Cuando

Cuando


Por otra parte, por definición de distancia entre 2 puntos:
(1)
(2)
(2) y (1) en (*): //

Ordenando para integrar:
Luego de integrar y ordenar:Problema 5 La parte normal comprendida entre el punto P(x, y) de una curva y el eje “x” tiene una longitud constante “k”, hallar la curva.

Solución:
Condición del problema (*)
La ecuación de la recta normal:



El punto
La distancia entre los puntos S y P:

Luego de simplificar: (1)
(1) en (*):Luego de despejar:
Integrando se tiene:
Luego de ordenar:

Problema 6 Hallar la curva para la cual el área del triángulo que forman el eje de las absisas la tangente a la curva y el radio vector es constante e igual a “”.

Solución:
Por condición del problema: (*)
La ecuación de la tangente:

Cuando:...