Ecuaciones Diferenciales Aplicadas A La Economía

Ecuaciones diferenciales aplicadas a la economía
La relación entre el precio P y la cantidad demandada X es tal que la tasa de disminución en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demanda e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante.
Encontrar la función de demanda si P= P0 cuando X= X0
SOLUCION
Sea X= X (P) la función de lademanda, de acuerdo al problema la descripción matemática es:
dXdp= xp+a De donde dxx=dpp+a integrando
1863090137160351091589535lnX= Ln (p+a) c X = (p+a) c C= Xp+a , ahora
para P0 = P, X = X0
Luego la función de demanda es: X=X0(P+a)P0+A
La razón del incrementa de las ventas, a medida que crece la gestión de propaganda X es igual a una constante menos las ventasdivididas por una constante más la gestión de propagandas. Hallar la relación entre las ventas y gestión de propagandas si S= S0, cuando X= X0
SOLUCION
La razón del incremento de ventas S, a medida que crece la gestión de propagandas X
dSdx=a-sb+x3006090226695
Separamos variables dSa-s=dxb+x lnk- lna-s= ln(b+x)1863090274955
lnka-s=lnb+x ka-s=x+b Si S=S0 X=X0
1482090262255
Ka-S0= X0+bK=(a-S0)(X0+b) Luego a-S0X0+ba-S=X+bS=a- a-S0X0+bX+bUn cierto hombre tiene una fortuna que aumenta a una velocidad proporcional al cuadrado de su riqueza presente. Si tenía un millón de pesos hace un año, y ahora tiene dos millones. ¿Cuánto tendrá dentro de seis meses? ¿Dentro de dos años?
SOLUCION
Sea S (t) = fortuna del hombre. La descripción matemática es:

S't=KS2t, que resolviendo setiene: - 1S(t) = Kt + c , encontraremos C:
Para t=0, S (0)= S, luego C= -1S(0) , entonces -1ST=Kt-1S0
k= 1tS0-1tSt Como 1S(t)= 1S(0)-kt
1S(t)= 1-kt(S0)S(0) → st= s(0)1-ktS(0)
Además S0=1×10006 pesos = cantidad original
S (t)= cantidad actual en t años
Como K= 1tS(0)-1tSt= 11×106- 12×106=12106
A los 6 meses = 0.5 años
Si hace un año tenía 106 pesos, entre seis meses hatranscurrido t=1+0.5 =1.5 años.
4196715282575
S1.5= 1061-10-62.106(1.5)= 1061-34=4.106
S (1.5) = 4’000,000 de pesos
A los 2 años, S(2)=? Para t=2 años
3129915290195
S2= 1061-10-62.106.2=1060= ∞ S2= ∞ pesosUn fabricante ha encontrado que el cambio en el costo de distribución D, a medida que aumenta las ventas S, es igual a una constante multiplicada por lasventas, m es otra constante. Si D=0, cuando S=0. Hallar D como una función de S.
SOLUCION
Sean D= costo de distribución, S= las ventas
dDdS=cambio en el costo de distribución DA medida que aumenta las ventas S, según el problema, la descripción matemática es:
dDdS=aS+b De donde dD=aS+bdS integrando D= aS22+bS+CLa razón del incremento de costo a medida que el número de unidades fabricadas xes igual del doble del cuadrado del cuadrado del costo menos el cuadrado del número en unidades dividido por el producto del costo y el número de unidades. Hallar la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas si y=3 cuando x=1.
SOLUCION
Sea y(x) el costo en función del número de unidades fabricadas x:
dydx=2y2-x2yxEcuación diferencial homogénea, hacemos
107251552070Y= uxdy= udx + xdu
2367915264795
udx+xdudx= 2u2x2-x2x2u udx+xdudx=2u2-1u2510790203200
u2dx+uxdu=2u2-1dx uxdu=u2-1dx38442902781301853565278130
uduu2-1=dxx 12lnu2-1=lnkx u2-1= kx2
281559065405132969065405Pero u=yx y2x2-1=kx2 y2 = x2 + Kx4
Determinamos K si y=3 cuando x=1
2215515406401186815406409=1+k k=8 y= 8x4+x2
Larelación entre el costo de operar un almacén de depósito y el número de galones de aceite almacenados en el depósito esta dado por , donde y es el costo mensual de operar el depósito (en dólares) y X es el número de galones de aceite almacenados .Si y =y0 (costo fijo) cuando x=0 .Hallar Y como función de X.
SOLUCION
* Sea Y el costo mensual de operar el depósito.
dydx=Kx+a177546027749500*...