Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

1 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
1.1. Modelo matemático
Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. La formulación de un modelo matemático implica: Identicar las variables causantes del cambio de un sistema. Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema (leyes empíricas aplicables). Las hipótesis de unsistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

1.2. Proceso de modelado
El proceso de modelado básicamente sigue los siguientes pasos: 1. Identicación de variables estableciendo una notación matemática. 2. Leyesempíricas que se pueden aplicar. 3. Planteamiento de las ecuaciones.

1.3. Ejemplos de formulación de modelos
1.3.1. Fusión
Se considera una esfera de hielo que se derrite a razón proporcional al área de su supercie.
Hallar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables: La incógnita del problema: volumen (es función del tiempo). Notación matemática:

V :volumen, t: tiempo, V = V (t): el volumen depende del tiempo, es decir, es función del tiempo.
2. Leyes empíricas que se pueden aplicar: En los datos: La esfera se derrite a razón proporcional al área de su supercie , es decir, el volumen de la esfera varía a razón proporcional al área de su supercie . La variación de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo: Expresión de la ley enforma matemática:

dV . dt

dV = k 4πr2 , dt

r es el radio de la esfera, r = r(t).

2

3. Planteamiento de la ecuación: Planteamos la ecuación con la incógnita inicial V :

V =
Sustituyendo:

4 3 πr → 3

3V 4π

1/3

= r.

dV 3V = k4π dt 4π

2/3

= k(4π)

1/3 2/3

3

V 2/3 .

Ecuación diferencial que proporciona el volumen en cualquier tiempo t.

1.3.2.Reacciones químicas
En cinética de las reacciones, en lo que se está interesado es en la evolución de éstas con el transcurso del tiempo. Como las velocidades son derivadas con respecto al tiempo, no es de extrañar que la cinética de las reacciones se modelen mediante ecuaciones diferenciales. Un ejemplo de tales reacciones son las reacciones bimoleculares. Sea la reacción bimolecular elemental

A +B → P,
en la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar una expresión para las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables. Las incógnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones del tiempo): [A], [B], [P ]. 2. Leyes empíricas que se pueden aplicar: La velocidad de reacción depende de lasconcentración de los reactantes y quizás del producto. La ley de la velocidad de reacción es la formulación de esa dependencia:

velocidad =

d[P ] d[A] d[B] =− =− dt dt dt

Para las reacciones elementales existe un principio básico, la ley de acción de masas: la velocidad de una reacción elemental es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes:

velocidad = k[A][B]
La ley deacción de masas está basada en la suposición de que reacciones elementales ocurren cuando las moléculas de los reactantes están en contacto simultáneamente. Por tanto, a mayor concentración, mayor velocidad. El coeciente k es la constante de la reacción y se toma siempre positiva. Por último la ley de conservación: la suma de las concentraciones de los productos y de cualquiera de los reactantespermanece constante a lo largo de la reacción.

[B] + [P ] = B0 + P0 [A] + [P ] = A0 + P0 , A0 , B0 , P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los componentes.
3

3. Planteamiento de la ecuación. Igualando velocidades:

d[A] = −k[A][B] dt d[B] = −k[A][B] dt d[P ] = k[A][B]. dt
Por último, aplicando la ley de conservación, se pueden eliminar variables para obtener la ecuación...