ecuaciones diferenciales con Derivadas parciales

NOTAS PARA EL CURSO
ECUACIONES DIFERENCIALES
PARCIALES
AUTOR:
Dr. Adolfo Zamora Ramos
Departamento de Matemáticas
Aplicadas y Sistemas
IBSN: 978-607-477-663-8

Febrero 2012

ECUACIONES DIFERENCIALES
PARCIALES

UNIDAD CUAJIMALPA

NOTAS PARA EL CURSO

Por
Dr. Adolfo Zamora Ramos
Departamento de Matem´ ticas Aplicadas y Sistemas
a
Division de Ciencias Naturales e Ingenier´a
´ı
Octubre 2011

2

A
Typeset in L TEX

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Contenido
Prefacio

7

1 Preliminares
1.1 La Ecuacion de Segundo Orden . . . . . .
´
1.1.1 Forma General . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ecuacion Lineal . . . . . . . . . . .
´
1.1.3 Problemas Asociados . . . . . . . .
1.1.4 Ecuacion Lineal en M´ s Variables
´
a
1.2 Delta de Dirac . . . . . . . . .. . . . . . .
1.2.1 Distribucion Rectangular . . . . .
´
1.2.2 Otras Representaciones . . . . . .
1.3 Integrales Dependientes de un Par´ metro
a
1.4 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Representacion Compleja . . . . .
´
1.4.2 Series Multidimensionales . . . . .
1.5 Operadores Lineales . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Operadores Diferenciales . . . . .
1.5.2Transformadas Integrales . . . . .

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2 M´ todo de Separacion de Variables
e
´
2.1 La Ecuacion de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
´
2.1.1 L´nea con Extremos a Temperatura Cero . . . . . . . . . . .
ı
2.1.2 L´nea con Extremos a Temperaturas Constantes T1 y T2 .
ı
2.1.3 L´nea con Extremos Aislados . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı
2.1.4 L´nea con Flujo de Calor Constante a Trav´ s de los Extremos
ı
e

3

11
12
12
12
15
18
19
19
21
23
28
30
32
33
33
36
39
40
40
52
59
60

4Contenido

2.1.5

Problema
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64
67
70
72
74
76
77
78
85
85
86

3 M´ todo de Cambio de Variables
e
3.1 La Ecuacion de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.1.1 CuerdaVibrante Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Cuerda Vibrante Infinita con Condiciones Iniciales . . .
3.1.3 Cuerda Vibrante Finita con Extremos Fijos . . . . . . . .
3.1.4 Cuerda Vibrante Finita con Extremos Libres . . . . . . .
3.1.5 Cuerda Vibrante Finita con un Extremo Fijo y otro Libre
3.2 La Ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.2.1Solucion General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.3 Ondas Esf´ ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
3.4 Ecuacion de Difusion con Reaccion Lineal . . . . . . . . . . . . .
´
´
´
3.5 Ecuacion Lineal con Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . .
´

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95
96
96
99
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108
108
110
112
113

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..
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117
118
119
119
121
121
122
122
127

2.2
2.3
2.4
2.5

L´nea con Condiciones de Frontera Periodicas:
ı
´
del C´rculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı
2.1.6 L´ mina Rectangular . . . . . . . . . . . . . . .
a
2.1.7 Bloque Solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2.1.8 Hiperbloque Solido N-dimensional . . . . . .
´
2.1.9 Ecuacion de Calor...