Ecuaciones Diferenciales con Mathematica

Prácticas de Ecuaciones Diferenciales con Mathematica
José Salvador Cánovas Peña
Departamento de Matemática Aplicada y Estadística.
Universidad Politécnica de Cartagena.
18 de abril de 2007

Índice General
1 Ecuaciones diferenciales con Mathematica
1.1 Derivadas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . .
1.3 Ecuacionesdiferenciales de primer orden . . . . . . .
1.4 Ecuaciones diferenciales lineales. . . . . . . . . . . . .
1.5 Aplicaciones de las ecuaciones lineales con coeficientes
1.5.1 Movimiento armónico simple. . . . . . . . . .
1.5.2 Movimiento amortiguado. . . . . . . . . . . .
1.5.3 Movimiento forzado. . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Aplicación a los circuitos eléctricos . . . . . . . . . .

1

. .. . . . .
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constantes.
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Capítulo 1
Ecuaciones diferenciales conMathematica
1.1

Derivadas de funciones

Supongamos que tenemos una función de una variable real f (x) o de varias variables reales
f (x1 , x2 , ..., xn ) a la que queremos calcular su derivada o derivada parcial respecto de alguna
de sus variables. El comando que realiza ese cálculo con Mathematica es
D[f, x] ó D[f, xi ].
Por ejemplo si queremos calcular la derivada de f (x) = sin x escribiremosIn[24] :=

D[Sin[x], x]

Out[24] = Cos[x],
especificando tanto la función como la variable respecto de la cual vamos a derivar. Para
calcular la derivada parcial con respecto a la variable y de la función f (x, y) = sin(x + y)
debemos escribir
In[25] :=

D[Sin[x + y], y]

Out[25] = Cos[x + y].
Para calcular la derivada n—ésima de f (x) , hemos de proceder con el comando
D[f, {x,n}].
3

4

Prácticas de ecuaciones diferenciales

Así la segunda derivada de f (x) = sin x se calcula tecleando
In[26] := D[Sin[x], {x, 2}]
Out[26] = −Sin[x]
y

∂3f
∂y3

de la función f (x, y) = sin(x + y) sería
In[27] := D[Sin[x + y], {y, 3}]
Out[27] = −Cos[x + y].

Si ahora queremos calcular derivadas parciales de funciones respecto de diferentes variables hemos de indicarlo delmodo siguiente
D[f, x1 , x2 , ..., xn ].
Así por ejemplo

∂ 2f
de la función f (x, y) = sin(x + y) se calcula escribiendo
∂x∂y
In[28] := D[Sin[x + y], x, y]
Out[28] = −Sin[x + y].

Ejercicio 1 Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
(a) f (x) = log (sin x) . (b) f (x) =

ex

arcsin x
.
log4 (x2 +10)

(c) f (x) = 1 +

³

3x+ex
√
x

x2 +tan

´

. (d) f (x)= xx .

Ejercicio 2 Demostrar que las funciones siguientes satisfacen la ecuación diferencial que
aparece a su lado.
(a) y(x) = 2 − x + x2 , de la ecuación y 0 + y = x2 .
2

(b) y(x) = 1 (e−x + 1), de la ecuación y 0 + 2xy = x.
2
(c) y(x) =

√
1 + x2 , de la ecuación y 0 y = x.

(d) y(x) = 1 (ex − 2xe−x − e−x ), de la ecuación y 00 + 2y 0 + y = ex .
4

Prácticas de ecuacionesdiferenciales

1.2

5

Representación gráfica de funciones

Mathematica permite hacer representaciones gráficas de funciones de una y varias variables.
Para ello hemos de darle tanto la función, como el dominio de definición de ésta.
Para la representación gráfica de funciones reales de variable real, tenemos el comando
Plot[f [x], {x, x0 , x1 }],
donde indicamos la función, la variable de lafunción, y un intervalo [x0 , x1 ] donde hacer la
representación. Así, para representar la función f (x) = sin x en el dominio [0, 2π] escribimos
In[30] := Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}].
1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5

-1

Para representar varias funciones a la vez hemos de escribir todas las funciones que
deseemos representar entre llaves y separadas por comas, es decir...