Ecuaciones diferenciales (Conceptos basicos)

Conceptos generales de ecuaciones diferenciales

¿Que son las ecuaciones diferenciales?
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconociday una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria,por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.


¿Qué es orden?
Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Se dice que una ecuación es linealsi tiene la forma, es decir:

Ni la función de sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas solo interviene la variableindependiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

¿A que se le llama grado?
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación,siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.


Clasificación del tipo de grado y orden.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática esuna ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que solo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

Se dice queuna ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no esta elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1. Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

y’ = y  es una ecuacióndiferencial ordinaria lineal de primer orden.
y’’ + y = 0  es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.
y’’ – y = 0  es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundoorden.

Solución particular.
Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.

Solución general.
Si la solución de una ecuación...