Ecuaciones diferenciales, curvas ortogonales

EJEMPLOS DE CURVAS ORTOGONALES

Aqui se presentan 3 ejemplos con graficas:

Comenzaremos con esta familia de curvas:
y3+y2-x=k
El primer paso será obtener la derivada de la ecuación anterior:dydxy3+y2-x=k
Obteniendo:
dydx=1(3y2+2y)
Que equivale a una recta tangente con pendiente m1.
Como paso siguiente encontraremos la recta perpendicular a m1, que por ser perpendicular cumple quesu pendiente es la inversa y con signo opuesto de m1.
m2=(3y2+2y)-1
Recordando que la pendiente es la derivada de la función podemos escribir lo anterior como:
dydx=(3y2+2y)-1
Esta será laecuación diferencial que debemos solucionar.
La ecuación puede resolverse por separación de variables, al separar las variables la ecuación nos queda:
dx=dy-(3y2+2y)
Lo siguiente es integrar ambosmiembros de la ecuación:
dx=dy-(3y2+2y)
Obteniendo así la familia de curvas ortogonales de la familia de curvas propuesta.
-12ln3y+2y+x=k
Lo siguiente será graficar ambas funciones con las constantesk=1, k=2, k=3 y k=4.
y3+y2-x=k

y3+y2-x=k
-12ln3y+2y+x=k




Comenzaremos con esta familia de curvas:
y=℮x-℮y+k
El primer paso será obtener la derivada de la ecuación anterior:dydx℮x-℮y+k
Obteniendo:
dydx=℮x1+℮y
Que equivale a una recta tangente con pendiente m1.
Como paso siguiente encontraremos la recta perpendicular a m1, que por ser perpendicular cumple que su pendiente es lainversa y con signo opuesto de m1.
m2=-℮y-1℮x
Recordando que la pendiente es la derivada de la función podemos escribir lo anterior como:
dydx=-℮y-1℮x
Esta será la ecuación diferencial que debemossolucionar.
La ecuación puede resolverse por separación de variables, al separar las variables la ecuación nos queda:
dy-℮y-1=℮-xdx
Lo siguiente es integrar ambos miembros de la ecuación:dy-℮y-1=℮-xdx
Obteniendo así la familia de curvas ortogonales de la familia de curvas propuesta.
y=-℮-x+℮y+k

Lo siguiente será graficar ambas funciones con las constantes k=1, k=2, k=3 y k=4....