Ecuaciones diferenciales de orden superior

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.1
Teoría preliminar: ecuaciones lineales
4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
4.1.2 Ecuaciones homogéneas
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas Reducción de orden
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Coeficientes indeterminados, método de lasuperposición Coeficientes indeterminados, método del anulador Variación de parámetros Ecuación de Cauchy-Euler Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso

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Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En las siete primeras secciones del capítulo examinaremos algo de la teoría y métodos para resolver ciertos tipos deecuaciones lineales. En la sección 4.8 presentamos el método de eliminación, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, porque es un método básico, que simplemente desacopla un sistema para llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada variable dependiente. El capítulo termina con un breve estudio de ecuaciones no lineales de orden superior.Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 113

a

TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
■ Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior m Problema de valores iniciales
m Existencia y unicidad m Problema de valores en la frontera
m Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas m Operador diferencial lineal
mDependencia lineal ■ Independencia lineal ■ Wronskiano m Conjunto fundamental de soluciones
■ Principios de superposición m Solución general m Función complementaria m Solución particular
4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
Problema de valores iniciales En la sección 1.2 definimos qué es un problema de
valores iniciales para una ecuacióndiferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es
Resolver: a„(x) —J + an.\{x) —¿- + ■■■ +ai(x) ^ + a0(x)y = g(x)

Sujeta a: y(xo) = yo, y'(xo)= y\,

., /"-'>x0 = >>„_,.

(1)

Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo / que contenga a jc0, y satisfaga laecuación diferencial y las « condiciones iniciales especificadas enx0:y(xo)=yo,y'(xo) =y\,.. .,yin~'l\xo)=yn-\. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (x0, yo) y tener la pendiente y{ en ese punto.
Existencia y unicidad En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especifica las
condiciones para garantizar laexistencia y unicidad de una solución de un problema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de existencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones (1).

Sean a„(x), a„ _ i (x),..., ax(x), aQ(x) y g(x) continuas en un intervalo /, ysea a„(x) * 0 para toda x del intervalo. Si x = xQ es cualquier punto en elintervalo, existe una solución en dicho intervalo y(x) del problema de valores iniciales representado por las ecuacio nes (l)que es
única.

EJEMPLO 1
Solución única de un problema de valores iniciales
El problema de valores iniciales
3y'" + 5y" - y’ + 7y = 0, y(l) = 0, y’(l) = 0, y”(l))= 0
tiene la solución trivial y = 0. Como la ecuación de tercer orden es lineal concoeficientes
constantes, se satisfacen todas las condiciones del teorema 4.1; en consecuencia, y = 0 es la
única solución en cualquier intervalo que contenga x = 1. ■

114 CAPITULO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

EJEMPLO 2

Solución única de un problema de valores iniciales

El lector debe comprobar que la función y = 3c2* + e"2* - 3x es una solución del problema de...