Ecuaciones diferenciales de orden n

[pic]

INTEGRANTE:
Vílchez Benito
7.930.729

Maracaibo 06 de Marzo del 2011.

Índice

Introducción
Desarrollo
Ecuaciones diferenciales de orden n:
Definición.
Forma general.
Interpretación.
Procedimiento para hallar la solución de una ecuación diferencial de orden n y su demostración, tanto para el caso de las ecuaciones diferenciales homogéneas como para las no homogéneas.
ElWronskiano: uso para la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas y su interpretación para la independencia lineal de las ecuaciones.
Demostración del teorema de reducción de orden de una ecuación diferencial homogénea de orden n.
Solución general de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Estudio de sus 4 casos:
Caso 1: La ecuación característica poseeraíces reales distintas
Caso 2: Las raíces de la ecuación característica son reales repetidas.
Caso 3: La ecuación característica posee raíces complejas no repetidas
Caso 4: La ecuación característica posee raíces complejas repetidas.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden n.
Conclusiones
Bibliografía

Introducción

Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, químicao astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría.
Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si [pic] es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de[pic]con respecto a[pic]. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial.
El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo XVIIproporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llama ecuaciones diferenciales de orden N, las cuales estudiaremos en este trabajo de investigación.

Estaecuación es de la forma:
[pic]

Esta ecuación es el punto de partida de este trabajo de investigación la cual definiremos, trataremos de explicar y estudiaremos algunos procedimientos, métodos y características que la componen.
Desarrollo

Ecuaciones diferenciales de orden n

Definición
Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n, es una ecuación que se puede escribir en la forma:[pic]
Donde [pic]que multiplican las diversas derivadas de la función incógnita y se llaman coeficientes de la ecuación. Y los coeficientes son funciones dadas de X.
Forma general

La forma dada de la ecuación diferencia de orden N es:

[pic]

Interpretación

La ecuación diferencial lineal de orden n es de la siguiente forma:

[pic]

Donde los términos [pic]representanconstantes [pic]En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación:
[pic]
En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:
[pic]
En el caso de que existan varias raíces repetidas, siendo mi la multiplicidad de laraíz i enésima, la solución es de la forma:
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Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición:
[pic]

Procedimiento para hallar la solución de una ecuación diferencial de orden n y su demostración, tanto para el caso de las ecuaciones diferenciales homogéneas como para las no homogéneas.

Procedimiento
[pic]
Con los términos...