Ecuaciones Diferenciales De Oreden Superior

Ecuaciones diferenciales de orden superior
Una ecuación diferencial de orden superior es una ecuación de la forma:
an (x) dⁿy/dxⁿ + an-1 (x)(d^(n-1) y)/(dx^(n-1) ) + … + a2 (x) (d^2 y)/(dx^2 ) +a1 (x) dy/dx + a0 (x)y = f(x) (1)

Donde an (x), an-1 (x)… a0 son funciones de “x” y an, an-1 ,… a0 son constantes.

Si la E.D. toma la forma de:

an (x) dⁿy/dxⁿ + an-1 (x)(d^(n-1)y)/(dx^(n-1) ) + … + a2 (x) (d^2 y)/(dx^2 ) + a1 (x) dy/dx + a0 (x) y = 0 (2), se dice que la E.D. es homogénea
Ecuación auxiliar o Polinomio característico
Sea (2) una E.D homogénea de orden n, entoncesel polinomio asociado a esa E.D. toma la forma
an mn + an-1 mn-1 +… + a2 m2 + a1 m + a0 = 0 (3)
Teorema de raíces reales distintas:
Si una Ecuación Auxiliar de la forma (2) tiene raícesreales distintas, entonces:
y= c1em1x + c2em2x + c3em3x + …+ cnemnx
Ejemplo 1: Halle la solución de y’’’ - 4y’’ – 5y’ = 0
Paso 1 Hallar polinomio asociado m3 - 4m2 - 5m =0
Factorizo m (m2 –4m -5) = 0
m (m-5) (m+1) = 0
m1= 0 m2= 5 m3= -1
Paso 2 Solución de la E.D. y= c1e0x + c2e5x + c3e-x
Teorema de raíces reales iguales: Si la E.D lineal homogénea de la forma (2) tiene comoPolinomio característico (3) y si es m la raíz de la ecuación (3) la cual se repite k veces entonces la solución de la E.D.L.H. es de la forma:
y= c1emx + c2 xemx + c3 x2emx + c4 x3emx
Ejemplo:y’’’ – 6y’’ + 12y’ – 8y = 0
Polinomio característico m3 -6m2 + 12m + 8 = 0
Factorizo (m-2)3 = 0
m1= 2 m2= 2 m3= 2
Solución: y= c1e2x + c2 xe2x + c3 x2e2x
Raíces complejas conjugadas:Si la E.D.L. Homogénea de la forma (2) de orden n=1 tiene raíces complejas conjugadas α±βi la solución es: y= e αx (c1 Cosβx + C2 Senβx)

Ejemplo: y’’ + y’ + y =0
Discriminante ϫ=b2 -4ac =1-4 = -3
m= -1 ± (-3)1/2 = -1 ± (3)1/2i
2 2 2

Solución: y= e -1/2x (c1 Cos [(3)1/2 /2] x + C2 Sin [(3)1/2 /2] x)
Ecuación Diferencial lineal no homogénea con coeficientes...