Ecuaciones Diferenciales De Primer Grado Y Primer Orden

Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado.

Una ecuacíon diferencial de primer grado y de primer orden puede reducirse a la forma:
Mdx +Ndy = o
Donde M y N son funciones de x y y.
Para emprender la tarea de hallar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden,
 
debemos conocer diversos métodos. El método que se emplee para resolverla depende de laforma particular que presente la ecuación.

De las ecuaciones diferenciales que pertenecen a esta clase, las más comunes
La más comunes pueden diferenciarse en cuatro clases:
1.Ecuaciones diferenciales de variable separadas.
2.Ecuaciones homogéneas.
3. Ecuaciones lineales.
4. ecuaciones que se pueden reducir a la forma lineal.Ecuación de Bernoulli.

 Ecuación de variables separable:Como se puede observar, en este tipo de ecuaciones cada miembro de la igualdad involucra solo una de las variables. Para resolver ecuaciones separables se integra en ambos miembros de la igualdad. La solución, por lo general, es una función implícita.
Ejemplo 1.

 

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones de Bernoulli

Aplicaciones a la Biología:
Uno de los campos más fascinante del conocimientoal cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
Crecimiento Biológico:
Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este elcrecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
dy / dt = y
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de susolución correspondiente es que si > 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.
Problemas de Epidemiología:
Un problema importante de la biología y de la medicinatrata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.
Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algocomplicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos quehay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantesinfectados.
Aplicaciones a la Economía:
En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería,...