Ecuaciones_Diferenciales de Ricatti tarea

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti
Ejercicio 1.

y ' = y 2 + 2 y − 15

S (x) = 3

Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = 3+

y' = −

1
z

→

z=

1
y−3

1
z'
z2

Hacer las sustituciones correspondientes
2

−

1
1
1


z ' =  3 +  + 2 3 +  − 15
2
z
z
z



Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener
la ecuación lineal.
z '+8 z = −1

Paso 3:Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
P( x ) = 8

Q( x ) = −1

FI = e 8 x
Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable
1
z = − + ce −8 x
8

117

1
1
= − + ce −8 x
y −3
8

y=

→

1
1
− + ce −8 x
8

+3

Ejercicio 2.

y ' = y 2 + 6 xy + 9 x 2 − 3

S ( x ) = −3 x

Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = −3x +

y ' = −3 −

1
z

1
z'
z2

Hacer las sustitucionescorrespondientes
2

1
1
1


− 3 − 2 z ' =  − 3 x  + 6 x − 3x +  + 9 x 2 − 3
z
z
z



Paso 2: Resolver las operaciones y reducir términos semejantes para
obtener la ecuación separable,
z ' = −1

Paso 3: Integrar miembro a miembro para obtener:

z = −x + c
Revertir el cambio de variable

1
= −x + c
y + 3x

→

y=

1
− 3x
−x+c

118

Ejercicio 3.

y ' = y 2 − 5 xy + 5

S (x ) = 5x

Paso1: Realizar el cambio de variable
y = 5x +

y' = 5 −

1
z

z=

→

1
y − 5x

1
z'
z2

Hacer las sustituciones correspondientes:
2

1
1
1


5 − 2 z ' =  5 x +  − 5 x 5 x +  + 5
z
z
z



Paso 2: Resolver las operaciones y reducir términos semejantes para
obtener la ecuación lineal:
z '+5 xz = −1

Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
P( x ) = 5 x

Q( x ) = −1

FI =e ∫

= e2

5

5 x∂x

x2

Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable
5

z=

x2

− ∫ e 2 ∂x + c
5

e2

x2

119

5

x2

∫ e 2 ∂x no es una integral elemental.
5

x2

5

− ∫ e 2 ∂x + c

1
=
y − 5x

e

NOTA: se acostumbra, cuando la integral

∫ f (t )∂t
x

x0

y=

→

5 2
x
2

e2
− ∫e

∫ f (x )∂x

x2

5 2
x
2

+ 5x
∂x + c

no es elemental, escribir como

donde x0 es unaconstante así:

5

e2

u=

x2

5

x

− ∫ e2
x0

x2

+c

y = u + 5x
Ejercicio 4:

y' = y 2 + 4 y − 5

S ( x ) = −5

Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = −5 +

y' = −

1
z

→

z=

1
y+5

1
z'
z2

Hacer las sustituciones correspondientes:
2

1
1

1

− 2 z ' =  − 5  + 4 − 5  − 5
z
z

z


120

Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes
z '−6 z = −1

Paso 3: IdentificarP(x), Q(x) y calcular el factor integrante
P( x ) = −6

Q( x ) = −1

FI = e −6 x
Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable
z=

y=

1
+ ce 6 x
6

1
1
+ ce 6 x
6

−5

Ejercicio 5:
y' = y 2 −

1
25
y− 2
x
x

S ( x) =

5
x

Paso 1: Realizar el cambio de variable
y=

5 1
+
x z

y' = −

→

z=

x
xy − 5

5
1
− 2 z'
2
x
z

Hacer las sustituciones correspondientes:
2

−

5
1
1  5 1 25
5 1
− 2 z' =  +  −  +  − 2
2
xx z x
x
z
x z

121

Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes para obtener
la ecuación lineal;

9
z '+ z = −1
x
Paso 3: Identificar P( x ) , Q( x ) y calcular el factor integrante
P( x ) =

9
x

Q( x ) = -1

FI = e

9

∫

∂x
x

= x9

Resolver la ecuación lineal en "z" y revertir el cambio de variable
z=−

x
+ cx −9
10

x
x
= − + cx −9xy − 5
10
y=

1
−

x
+ cx −9
10

+

5
x

Ejercicio 6:

y ' = csc 2 x + yctgx + y 2

S ( x ) = −ctgx

Paso 1: Realizar el cambio de variable
y = -cotgx +

1
z

y ' = cosc 2 x −

1
z'
z2

Hacer las sustituciones correspondientes:

122

1
1 1


cosc x − 2 z ' = cosc 2 x + cotg x − cotg x +  +  − cotg x 
z z
z



2

2

Paso 2: Resolver operaciones y reducir términos semejantes paraobtener
la ecuación lineal;

z '−(ctgx )z = −1
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
P( x ) = −ctgx

Q( x ) = −1

FI = csc x

Resolver la ecuación lineal "z" y revertir el cambio de variable:
Variable:

z=

y=

− ln cosc x − cotg x + c
cosc x

cosc x
− ln cosc x − cotg x + c

− cotg x

Ejercicio 7:
y' = y 2 +

2
2
y+ 2
x
x

S (x) = −

2
x

Paso 1: Realizar el cambio de...