Ecuaciones Diferenciales De Segundo OrDen

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario Tecnológico de Yaracuy
Independencia – Edo. Yaracuy






ECUACIONES DIFERENCIALES
DE SEGUNDO ORDEN



Integrante:
Gustavo Dávila Exp: 24565
Facilitador(a):
Gladis Navarro



Abril, 2012.


Introducción
El tema desarrollado en el presente trabajo essobre Ecuaciones Diferenciales de Segundo Grado, donde además se verán algunas definiciones y ejemplos prácticos; de gran importancia, las cuales nos ayudaran a entender de una manera fácil las propiedades y aplicaciones de esta importante rama de la Matemática.
 

¿Qué es una Ecuación Diferencial de Segundo Orden?

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términosque involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:



•
Es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, es la derivada de con respecto a .
• La expresión es una ecuación en derivadas parciales.


A la variable dependiente también sele llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).



Ecuacionesdiferenciales de 2do orden con coeficientes constantes

Tenemos una ecuación de la forma
1 ay” +by' + cy = 0

Todas las soluciones de este tipo de ecuaciones son funciones exponenciales por lo que su solución serán funciones del mismo tipo

DEMOSTRACIÓN

Y = emx y' = memx y” = m2emx


. am2emx + bmemx + cemx

emx (am2 + bm + c) =0

m = son las raíces del polinomioCASO I

RAICES REALES Y DIFERENTES
La solución para este tipo está dada por
La solución es de la forma y(x) = C1 em1x + c2 em2x


CASO II

RAICES REALES E IGUALES
La solución es de la forma y(x) = C1 em1x + c2 Xem2x

CASO III
RAICES COMPLEJAS

La solución es de la forma y(x) = C1 eðx cos ðx+ c2 eðx sen ðx


Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación eslineal si tiene la forma , es decir:
 Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
 En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
 Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones, con k un número real cualquiera.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sinembargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función puede escribirse en la forma:













Ejemplo
Uno de losejemplos más interesantes de resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden es la descripción del movimiento de los planetas, el cual tiene una solución analítica sencilla en coordenadas polares. La trayectoria seguida por un planeta es una cónica, una elipse en particular, en uno de cuyos focos está el centro fijo de fuerzas, el Sol. En la figura, se muestra la fuerza que ejerce...