ecuaciones diferenciales de segundo orden

CONTENIDO

Ecuaciones diferenciales de segundo orden
1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden

1.1 La ecuación diferencial de segundo orden no contiene Y

1.2 La ecuación diferencial de segundo orden no contiene X

1.3 Ecuación diferencial de segundo orden de la forma

1.4 La ecuación diferencial de la forma

1.5 Ecuación diferencial lineal desegundo orden










INTRODUCCIÓN

En este trabajo estudiaremos algunos conceptos básicos relativos a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden así como algunas técnicas que permiten el cálculo explícito de sus soluciones en ciertos casos; los cuales son tratados con detalle más adelante.
Las ecuaciones lineales constituyen una clase especial de ecuaciones cuyoestudio está profundamente relacionado con los conceptos del álgebra lineal. En el caso especial de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes las soluciones se pueden expresar completamente en términos de funciones elementales, un hecho ya conocido por J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII. Esto las hace especialmente aptas para servir como un primer modelo de aquellos procesosfísicos que tengan características lineales o aproximadamente lineales (teoría de pequeñas oscilaciones, teoría de circuitos eléctricos, etc.) En los procesos de linealización, las ecuaciones lineales también resultan útiles en la etapa inicial del estudio de problemas no lineales.
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenosfísicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.








ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden

1.1 La ecuación diferencial de segundo orden no contiene Y:
Si se da el caso en el que la ecuación diferencial desegundo orden no contiene Y, entonces puede escribirse como sigue:


Considerando que es la variable dependiente, y haciendo que

(2)

Se recibe:



Reemplazamos (2) y (3) en (1), así obtenemos la siguiente ecuación:



Entonces la ecuación (4) es una ecuación diferencial de primer orden.

Ejemplo 1:

siendo:

Entonces sí,


Reemplazando estos valores en la ecuación (5)se obtiene:

La solución de la ecuación es:


Integrando a ambos lados de la igualdad


Pero como


De nuevo integramos cada miembro,

Entonces:


1.2 La ecuación diferencial de segundo orden no contiene X
En caso de que la ecuación diferencial de segundo orden no contenga X, puede escribirse de la siguiente forma:

En este caso también se hace que:


Entoncestenemos que:


Substituyendo (7) y (8) en (6) se recibe la ecuación siguiente:


Finalmente la ecuación (9) es una ecuación diferencial de primer orden en donde es la variable independiente.
Ejemplo 2:
(10)
Sabiendo que



Reemplazando lo anterior en la ecuación (10):

Sacamos factor común y obtenemos,

Si
Y si
O bien
Entonces

De esta forma

Pero como .Tenemos:

Integramos ambos términos:


Solucionando

1.3 Ecuación diferencial de segundo orden de la forma
Una ecuación diferencial que posea la forma:
(13)
Puede resolverse por el método anterior, pero con el fin de hacer el desarrollo más fácil se hace:
(14)
Derivando ambos miembros de (14) con respecto a xse tiene:

Pero como

Nos queda

Entonces la ecuación (13) toma la forma:
(15)

Ejemplo 3:
(16)
Sea


Cambiando variables tenemos lo siguiente:



Aplicamos la propiedad de Logaritmo Natural:




Pero como sabemos que
Entonces reemplazamos







1.4 La ecuación diferencial de la forma
En la ecuación...