Ecuaciones Diferenciales De Segundo Orden

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función con sus derivadas primera y segunda.Coeficiente constante

Una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.
〖ax〗^''+〖bx〗^'+cx=0
Donde a, b, y c, son constantes.
Para su solución se requiere de una ecuaciónauxiliar y quedaría de la siguiente manera.
am^2+bm+c=0
Para obtener el resultado se puede realizar por medio de:
Factorización o aplicando la formula general observando que es lo mas conveniente parala solución de dicha ecuación.
Para los valores de m1, m2 puede existir 3 diferentes valores para sus raíces que se muestran a continuación:

Raíces Reales Diferentes m1≠m2 y=c_1e^(m_1 x)+c2e^(m_2 x)

Raíces Reales Iguales m1=m2 y=c_1 e^(m_1 x)+c2e^(m_2 x)

Raíces complejas conjugadas

m1=∝+Bim2=∝-Bi y=e^(∝x) (c1cosBx+c2senBx)



Coeficiente indeterminado
Una función de coeficiente indeterminado:
Y=ay^''+by^'+cy=f(y)
Donde f(x) es un polinomio,un exponencial, o una función trigonométrica buscando una solución particular y_p y y_h
y_h= ay^''+by^'+cy
y_p=f(y)
Para hallar y_h se resuelve con coeficiente constante

Anuladores:
D^nanula a 1,x,x^2,…,x^(n-1)
〖(D-α)〗^n anula a e^αx,xe^αx,x^2 e^αx,…,x^(n-1) e^αx
[D^2-2αD+(α^2 β^2 ) ]^nanula a e^αx cosβx,〖xe〗^αx cosβx,x^2 e^ax cosβx,…,x^(n-1) e^ax cosβx
e^αx senβx,〖xe〗^αx senβx,x^2 e^ax senβx,…〖,x〗^(n-1) e^ax senβx
 Variación de parámetros.
Para la solución de estos tipos de ejercicios se sigue estos pasos:
1.- Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de y’’ sea uno.
2.-...