Ecuaciones Diferenciales Demostracion

1. INTRODUCCIÓN:
Hasta el momento hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de orden uno, es decir,
. Ahora vamos a estudiar ecuaciones con derivadas de cualquier orden:
Esta es la ecuaciónlineal completa de coeficientes variables, dada en un abierto
de la recta real, en el que se debe cumplir que
, y que
y
son funciones continuas en
. En el caso particular de que
se llamaraecuación homogénea de coeficientes variables.
TEOREMA(De unicidad): El teorema de unicidad nos garantiza que para todo conjunto de condiciones de la forma:

Existe una única función definida endicho intervalo
que verifica dichas condiciones.
Sin embargo, no pasa lo mismo si nos dan una serie de condiciones de frontera, consistentes en:

En tal caso no hay nada garantizado, ya que aquípuede haber varias, una o ninguna solución.
TEOREMA(De superposición): Sean
soluciones de la ecuación diferencial Entonces el teorema de superposición nos garantiza que la suma de soluciones essolución de la ecuación diferencial.
Empezaremos por estudiar la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa dada (haciendo
). Después pasaremos a estudiar la ecuación completa. La solución vendrádada por la solución general de la homogénea más una solución particular de la completa.
2. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN HOMOGENEA:
Primero vamos a estudiar la resolución de ecuaciones diferencialeshomogéneas de orden
lineales y con coeficientes constantes:
2.1. RESOLUCIÓN DE LA HOMOGENEA DE COEFICIENTES CONSTANTES:
Dichas ecuaciones son de la forma:

Las soluciones son de la forma
, con locual:

Sustituyendo:

Como
, ha de ocurrir que:

A dicha expresión la llamamos ecuación característica. Si
es solución de la ecuación característica, entonces
es solución de la ecuacióndiferencial. Por tanto la ecuación lineal tiene
soluciones linealmente independientes. Las soluciones de la ecuación característica pueden ser de diversos tipos:
 Reales simples:
En este caso...