Ecuaciones diferenciales (derivacion e integracion)

INTRODUCCION
Con el presente trabajo, estudiaremos la estructura del grupo ya que es un sistema axiomático básico y fundamental de la matemática. Lo que vamos a estudiar es todo lo relacionado con la estructura del grupo tales como concepto de grupo y subgrupo, operaciones con subgrupos, homomorfismo de grupos, núcleo e imagen de homomorfismo de grupo, relaciones de equivalencias compatibles ysubgrupos distinguidos. Todos con sus respectivas definiciones, propiedades generales y ejemplos.

OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERAL
Conocer e identificar las definiciones, propiedades generales y ejemplos que pueden relacionar con la estructura del grupo
OBJETIVOS ESPECIFICOS.
* Identificar los conceptos de grupos y subgrupos; y sus propiedades y sus ejemplos.
* Identificar las operacionescon subgrupos y ejemplos de cada uno de ellos.
* Identificar los homomorfismos del grupo, con sus propiedades y ejemplos.
* Identificar el núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos con sus respectivas propiedades.
* Conocer el concepto de relación de equivalencia compatible y la teorema fundamental del mismo.
* Identificar los subgrupos distinguidos.

INDICE
1.Estructura del grupo

2.1. CONCEPTO DE GRUPO Y SUBGRUPO
2.2. OPERACIONES CON SUBGRUPOS
2.3. HOMOMORFISMO DE GRUPOS
2.4. NÚCLEO E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO DEL GRUPO
2.5. RELACIONES DE EQUIVALENCIAS COMPATIBLES
2.6. SUBGRUPOS DISTINGUIDOS

MARCO TEORICO
1. ESTRUCTUTRA DE GRUPO

1.1. CONCEPTO DE GRUPO Y SUBGRUPO

1.2.1. GRUPO

Sea * unaley de composición interna. Se dice que el par (G,*), es un grupo si cumple con las siguientes condiciones:

G1: * es asociativa, esto es

∀g ∀h ∀k:g, h, k∈G→g*h*k=g*(h*k)

G2: Existe neutro o identidad

e∈G, esto es, ∃e∈G ∀g:g∈G→ g*e=e*g=g

G3: Existencia de inverso:
∀a∈G→∃a'∈Ga*a=a'*a=e

G4: * es cerrada en G,
∀g ∀h ∈G →g*h∈G

Ejemplo:
* (Z ,+) : enteros con adición esun grupo
* (Q ,+): números racionales con adición
* (Q , ×): números racionales con multiplicación no es un grupo, casi satisface la definición del grupo, excepto que 0 pertenece Q no tiene inverso pero una manera de arreglar (Q , ×) seria eliminar al número 0 (Q ,-0, ×) es un grupo.
* (Q+ , ×): es grupo
* (Sn, ∘): es un grupo llamado grupo simétrico.
* (Zn , ⨁): es ungrupo para todos los enteros positivos*

Si además * es conmutativa, (G, * ) es un Grupo Abeliano.

1.2.2.1. Grupo Abeliano:
Sea (G,*) un grupo, ese grupo se llama abeliano siempre y cuando * se una operación conmutativa en G, es decir, que para todo g, h pertenece al conjunto G, g * h = h * g.
Por ejemplo (Z ,+) y(Z 10,∘) son abelianos, pero (Sn , ∘) no lo es.1.2.2. SUBGRUPO

Un subgrupo es un grupo dentro de un grupo. Consideremos los enteros como un grupo: (Z ,+) Dentro de los enteros se encuentra el conjunto de los enteros pares, E= {x Є Z: 2|x}. Vemos que (E, +) también es un grupo que satisface las cuatros propiedades exigidas. A (E, +) se le llama un subgrupo de (Z, +).
Definición: Sea (G,*) un grupo y sea H ⊂ G. (H, *) también es un grupo, aeste se le llama subgrupo de (G, *).
Sea un subconjunto de grupo G: tal que:
a. La identidad e de G pertenece a H
b. Si a y b pertenecen a H entonces ab є H
c. Si a є H entonces a ¹ є H

Entonces H es un subgrupo de G. La parte b dice que H es un subsemigrupo de G. H es un subgrupo de G se puede ver como un subsemigrupo que tiene las propiedades a y c.

Observe que si G es un grupo yH es un subgrupo de G, entonces H también es un grupo con respecto de la operación en G.

Ejemplo:
1. Todo grupo (G, *) admite como subgrupos al mismo G, y al conjunto cuyo único elemento es e, Ambos se llama subgrupos triviales de (G,*)
2. Z ,+ es un subgrupo de Q ,+)
3. El conjunto de los enteros pares, con la adicción, es un subgrupo de
Z ,+. En cambio no lo es el conjunto...