Ecuaciones Diferenciales Ejercicios

Tema 7. Factores de integración
7.1 ¿QUÉ ES UN FACTOR DE INTEGRACIÓN? En general, la ecuación diferencial (7.1) M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 no es exacta. Ocasionalmente, sin embargo, es posible transformar (7.1) en una ecuación diferencial exacta por una atinada multiplicación. Definición: Una función I(x, y) es un factor de integración para (7.1) si la ecuación (7.2) I(x,y)[M(x,y)dx +N(x,y)dy] = 0es exacta. Ejemplo 7.1. Determinar si –1/x2 es un factor de integración para ydx – xdy = 0. Solución: Multiplicando la ecuación diferencial dada por –1/x2, obtenemos

−

Esta ultima ecuación es exacta; por lo tanto – 1/x es un factor de integración. Ejemplo 7.2. Determinar si –1/xy es un factor de integración para y dx – x dy – 0. Solución: Multiplicando la ecuación diferencial dada por –1/xy,obtenemos

1 ( ydx − xdy ) = 0 ; x2 2

−

y 1 dx + dy = 0 2 x x

−

1 ( ydx − xdy ) = 0 ; xy

−

1 1 dx + dy = 0 x y

Esta última ecuación es exacta; por lo tanto –1/xy es un factor de integración. Comparando con el Ejemplo 7.1, vemos que una ecuación diferencial puede tener más de un factor de integración. 7.2 SOLUCIÓN POR MEDIO DEL USO DE UN FACTOR DE INTEGRACIÓN Si I(x,y) es unfactor de integración para (7.1), entonces (7.2) es exacta y puede resolverse por el método de la Sección 6.2 , o frecuentemente, por integración directa. La solución de (7.2) es también la solución de (7.1). 7.3 CÓMO HALLAR UN FACTOR DE INTEGRACIÓN De la prueba de exactitud dada en la Sección 6.1 se deduce que el factor de integración es una solución para cierta ecuación diferencial parcial. Sinembargo, esta ecuación es generalmente más difícil de resolver que la ecuación diferencial original en consideración. En consecuencia, los factores de integración se obtienen generalmente por inspección. El éxito del método depende entonces de la habilidad del usuario para reconocer o conjeturar que un grupo particular de términos forma una derivada exacta dh(x,y).

Tabla 7–1 Grupo de Términosydx – xdy Factor de Integración I(x, y) Derivada Exacta dh(x,y)

−
1 y −

1 x2

xdy − ydx ⎛ y⎞ = d⎜ ⎟ 2 x ⎝x⎠
⎛x⎞ ydx − xdy = d⎜ ⎟ ⎜ y⎟ 2 y ⎝ ⎠

ydx – xdy

ydx – xdy

1 xy

xdy − ydx ⎛ y⎞ = d ⎜ ln ⎟ xy ⎝ x⎠

ydx – xdy

−

1 x + y2
2

xdy − ydx y⎞ ⎛ = d ⎜ a tan ⎟ 2 2 x⎠ x +y ⎝ ydx − xdy = d (ln xy ) xy

ydx – xdy

1 xy

ydx – xdy

(xy )
ydx – xdy
2

1

n

,n >1

ydx − xdy

(xy )n

⎛ ⎞ 1 ⎟ = d⎜ ⎜ (n − 1)( xy )n −1 ⎟ ⎝ ⎠

1 x + y2

ydy − xdx ⎛1 ⎞ = d ⎜ ln x2 + y 2 ⎟ 2 2 x +y ⎝2 ⎠

(

)

ydx – xdy

(

1 x + y2
2

)

n

(

⎛ ydy − xdx 1 = d⎜ 2 2 n ⎜ 2 (n − 1) x2 + y 2 x +y ⎝

)

(

aydx – bxdy (a, b son constantes)

x a −1 y b −1

x a −1 y b −1 (aydx + bxdy ) = d x a y b

(

)

)

⎞ ⎟ n −1 ⎟ ⎠

Enalgunos casos, un factor de integración es fácilmente visible si los términos de la ecuación diferencial se agrupan estratégicamente. (Ver Problemas 7.3 – 7.5). Si M(x, y) y N(x,y) en (7.7) obedecen ciertas condiciones, los factores de integración son conocidos. (a) Si (7.3) (b) Si

1 ⎛ ∂M ∂N ⎞ ⎜ ⎟ = g ( x ) , una función de x; solamente, entonces − N ⎜ ∂y ∂x ⎟ ⎝ ⎠ g ( x )dx I (x , y ) = e ∫ 1 M ⎛∂M ∂N ⎞ ⎜ ⎜ ∂y − ∂x ⎟ = h( y ) , una función de y solamente, entonces ⎟ ⎝ ⎠ − h ( y )dy I (x , y ) = e ∫ I (x , y ) = 1 xM − yN

(7.4) (c) Si M = yf(x,y) y N = xg(x,y), entonces (7.5)

Problemas resueltos
7.1 Resolver ydx – xdy = 0 Solución: Usando el factor de integración I(x,y) = – 1/x2 (ver Ejemplo 7.1 o Tabla 7–1), podemos escribir la ecuación diferencial como

xdy − ydx =0 x2
Como (I)es exacto, puede resolverse por el método de la Sección 6.2. Como alternativa, vemos por la Tabla 7–1 que (1) puede escribirse como d(y/x) = 0. Entonces, por integración directa, tenemos ylx = C o y = Cx, como la solución. 7.2 Resolver la ecuación diferencial del Problema 7.1 usando un factor de integración diferente. Solución: Usando el factor de integración I(x,y) = – 1/xy (ver Ejemplo 7.2 o...