Ecuaciones Diferenciales En La Fisica

Ecuaciones Diferenciales en la física
Presenta: Didier Alejandro Patiño Rodríguez
Asesor: Román Castro Rodríguez

Ecuaciones Diferenciales en la física 2011

Índice                           Introducción Ecuaciones diferenciales Clasificación y orden Orden de las ED Clasificación Métodos de solución para ED Ecuaciones diferenciales de primer orden Separación devariables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferencial lineal de primer orden Conversión a la ecuación integral Métodos de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden Método de coeficientes indeterminados Método de separación de variables Ejemplos de la ecuaciones diferenciales para la solución de sistemas físicos Oscilador armónico simple Oscilador armónico amortiguado Osciladorarmónico forzado Problemas donde intervienen péndulos Ecuaciones diferenciales parciales en la física Ejemplos de Ecuaciones de transporte Ejemplos de Ecuaciones de Onda Ejemplos de la ecuación de Helmholtz Ejemplos de la ecuación de Laplace Ejemplos de la ecuación de Schrödinger Átomo de hidrogeno 3 4 4 4 5 7 7 7 7 8 11 12 14 15 16 21 23 28 30 33 34 46 52 61 68 77

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Introducción.
Una de las herramientas matemáticas más utilizada en la actualidad para la descripción de fenómenos físicos son las ecuaciones diferenciales. Dado que al tratar de entender cualquier fenómeno físico, la mente crea una idealización y lo plasma en un modelo matemático, donde al tomar el aspecto central del fenómeno, estudia sus causas y lo describe en formamatemática (figura 1). Gracias a esta teoría es posible describir tanto el fenómeno como las aplicaciones que este pudiera tener. El estudio de las propiedades de la ecuación obtenida permiten sondear otras características que no son tan evidentes, incluso se pueden predecir hechos o fenómenos que de la observación no se obtienen. Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grandes grupos: lasecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales. Si una ecuación diferencial es empleada en la descripción de un fenómeno físico, matemáticamente la solución nos dará una función, la cual al ser utilizada para describir el sistema esta podrá estar representada como un desarrollo ya sea en el tiempo, el espacio y demás variables que ayuden a la descripción del fenómeno. Pocasecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Para ello mostrare el desarrollo de varios fenómenos físicos en forma de una ecuación diferencial, así como encontrar el método para poder encontrar una solución esta, y así poder darle un sentido físicoa dicha solución.
Observación Modelos Matemáticos

Fenómeno físico

No Satisfacen el problema real

Solución con condiciones observables

Si

Solución

Fig. 1.- Diagrama que ilustra el empleo de las Ecuaciones Diferenciales en la física

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Ecuaciones diferenciales.
Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona auna función, a su variable o variables independientes, y a sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.).

Clasificación y orden de una E.D.  Ordende las E.D.
El orden de una E.D.O. esta dado por el orden de la derivada de más alto valor, la manera más general de representarla es: , , ′ , … , =0 1

Lo cual nos describe una E.D.O. de orden n. la ecuación (1) representa una relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus n primeras derivadas, si convenientemente decimos que = pudiendo rescribir...