Ecuaciones Diferenciales Exactas

Páginas: 2 (402 palabras) Publicado: 19 de noviembre de 2015
Ecuaciones diferenciales exactas
Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial.
 
 
 Definición [Vector gradiente]
 
Sea una función escalar, entonces el gradiente es la funciónvectorial dada por

 


Ejemplo
El gradiente de la función es



 
 
 Definición [Campo vectorial conservativo]
 
Sea una función vectorial, decimos que es un campo vectorial conservativo siexiste una función escalar tal que . A la función escalar se le llama función potencial.
 
Ejemplo
La función vectorial es un campo vectorial conservativo, pues, si se tiene que .
La definiciónanterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente teorema nos facilitará esta tarea.
 
 
 
 Teorema
 
Seaun campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa1.1 y dado por



donde y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en , entonces es conservativo sí y sólo sí
 

 


De pasoeste teorema nos da la clave para construir la función potencial, como veremos en el próximo ejemplo.
Ejemplo
 
El campo vectorial




es conservativo, pues si




tenemos que




Como esconservativo, existe una función escalar tal que




de donde, como



Derivando con respecto a e igualando a la derivada parcial



Con lo cual .
 
Observación: algunas veces resulta más fácil integrarrespecto a y respecto a y luego elegimos como la suma de ambos, tomando los términos repetidos una vez.
 
 
 
 Definición [Ecuación diferencial exacta]
 
Una ecuación diferencial ordinaria deprimer orden escrita en la forma



es exacta si el campo vectorial asociado



es conservativo.  
 
 
 
 Teorema
 
La solución general de la ecuación diferencial exacta



está dada por , donde es lafunción potencial del campo vectorial .  
 
Demostración:
Comprobemos que es solución de la ecuación diferencial. Suponiendo que es función de , derivamos implícitamente



Como es la función...
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