Ecuaciones Diferenciales Exactas
Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial.
Definición [Vector gradiente]
Sea una función escalar, entonces el gradiente es la funciónvectorial dada por
Ejemplo
El gradiente de la función es
Definición [Campo vectorial conservativo]
Sea una función vectorial, decimos que es un campo vectorial conservativo siexiste una función escalar tal que . A la función escalar se le llama función potencial.
Ejemplo
La función vectorial es un campo vectorial conservativo, pues, si se tiene que .
La definiciónanterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente teorema nos facilitará esta tarea.
Teorema
Seaun campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa1.1 y dado por
donde y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en , entonces es conservativo sí y sólo sí
De pasoeste teorema nos da la clave para construir la función potencial, como veremos en el próximo ejemplo.
Ejemplo
El campo vectorial
es conservativo, pues si
tenemos que
Como esconservativo, existe una función escalar tal que
de donde, como
Derivando con respecto a e igualando a la derivada parcial
Con lo cual .
Observación: algunas veces resulta más fácil integrarrespecto a y respecto a y luego elegimos como la suma de ambos, tomando los términos repetidos una vez.
Definición [Ecuación diferencial exacta]
Una ecuación diferencial ordinaria deprimer orden escrita en la forma
es exacta si el campo vectorial asociado
es conservativo.
Teorema
La solución general de la ecuación diferencial exacta
está dada por , donde es lafunción potencial del campo vectorial .
Demostración:
Comprobemos que es solución de la ecuación diferencial. Suponiendo que es función de , derivamos implícitamente
Como es la función...
Regístrate para leer el documento completo.