Ecuaciones Diferenciales Fernando Mesa

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Una introducci´n o
Fernando Mesa Profesor titular Alejandro Mart´ ınez Acosta Profesor asociado Jos´ Rodrigo Gonz´lez Granada e a Profesor asistente Universidad Tecnol´gica de Pereira o Facultad de Ciencias B´sicas a Departamento de Matem´ticas a Pereira, 2011

c ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Una introducci´n o c Fernando Mesa. Autor Profesortitular Universidad Tecnol´gica de Pereira o c Alejandro Mart´ ınez Acosta. Autor Profesor asociado Universidad Tecnol´gica de Pereira o c Jos´ Rodrigo Gonz´lez Granada. Autor e a Profesor asistente Universidad Tecnol´gica de Pereira o Pereira - Risaralda. 2011 ISBN Portada: los autores Dise˜o y diagramaci´n: los autores n o Digitaci´n y elaboraci´n de dibujos: Los autores o o

Impreso y hecho enColombia Impreso por Derechos reservados. Prohibida la reproducci´n total o parcial sin autorizaci´n escrita del titular o o de los derechos.

Contenido

Presentaci´n o 1. Introducci´n a las ecuaciones diferenciales o 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Definiciones y terminolog´ ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Soluciones y problemas devalor inicial. . . . . . . . . . . . . .

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1.4. Ecuaci´n diferencial de una familia de curvas . . . . . . . . . . 12 o 1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 19

2.1. Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 23 2.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Transformaciones y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Trayectorias ortogonales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7. Ecuaci´n diferencial de primer orden en coordenadas polares . 48 o 2.8. Ejercicios . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.1. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.2. Modelado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i

CONTENIDO

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 3.1. Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Introducci´n: sistema masa-resorte. . . . . . . . . . . o 3.1.2.Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Soluciones fundamentales de ecuaciones homog´neas . e 3.1.4. Reducci´n de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Teor´ b´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa a 3.2.2. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . 3.2.3.Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Operadores anuladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Variaci´n de los par´metros. . . . . . . . . . . . . . . o a 3.3. Ecuaci´n de Cauchy–Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.Transformada de Laplace 4.1. Definici´n y transformadas o 4.2. Propiedades . . . . . . . . 4.3. Transformada inversa . . . 4.4. Los teoremas de traslaci´n o 4.5. Funciones peri´dicas . . . o 4.6. Funci´n delta de Dirac . . o 4.7. Funci´n de transferencia . o 4.8. Ejercicios . . . . . . . . .

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b´sicas a . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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