Ecuaciones diferenciales homogeneas

1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

* FUNCIÓN HOMOGÉNEA

Una función f:Rn→R

x1,x2,…,xn→fx1,x2,…,xn

Se dice homogénea de grado r si y sólo si ;

ftx1,tx2,…,txn=trfx1,x2,…,xn

∀t>0 y ∀x1,x2,…,xn∈D
Ejemplo:

* Comprobar si la siguiente función es homogénea de grado 2:

fx1,x2,x3=x12+2x1x3+2x22

ftx1,tx2,tx3=tx12+2(tx1tx3)+2tx22

trfx1,x2,x3=t2fx1,x2,x3

r=2* La Función de Producción de Cobb-Douglass fK,L=AKαLβ ,donde α+β=1 (α,β>0) es homogénea de grado 1.

ftK,tL=A(tK)α(tL)β

trfK,L=tα+βKαLβ

trfK,L=tα+βf(K,L)

r= α+β=1

Ejemplo
1. La función fx,y=1x+y es homogéneas de grado 12.
2. Las funciones fx,y=exy ;fx,y=x2-y2x2+y2; fx,y=x2x+y son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones fx,y=x2+y2; fx,y=xy ; fx,y=x2-2xy+y2son homogéneas de grado 2.

4.
  f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y 4, aplicando la definición se tiene: |
      f( tx,  ty) =  (tx)²  ( ty)²  + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4         |
      f( tx,  ty) =  t4  x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4 |
      f(tx, ty ) = t4 (x2 y2  + 5x3 y - y4 ) |
       f( tx,  ty) =  t4   f ( x, y)    |
Por lo tanto la función es homogénea de grado 4
* ECUACIÓNDIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, y´=fx,y , es homogénea si la función fx,y es homogénea de orden cero.
Observación:
* Si la ecuación diferencial está escrita en la forma :
y´=-Mx,yNx,y→Mx,ydx+Nx,ydy=0
Serían homogéneos de grado r sí y sólo sí Mx,y y Nx,y son funciones homogéneas del mismo grado.
Ejemplo:
* La ecuación y´=2x+3yx-y eshomogénea de grado 1.
dydx=2x+3yx-y→x-ydy+-2x-3ydx=0
Nx,y=x-y ∧ Mx,y=-2x+3y

Como podemos observar M y N son homogéneas de grado 1.

* Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y´=f(x,y) es homogénea, entonces el cambio de variable y=ux la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
xu´+u=f(x,xu)
Pero como fx,y es unafunción homogénea de grado cero tenemos que
xdudx+u=x0f1,u
Donde:
xdudx=f1,u-u→→duf1,u-u=dxx
De donde podemos afirmar que es separable, como se quería.
* La respuesta final se determina en términos de x e y.
Ejemplo:
* 2xyy´- y+x=0-TERMIANR
Ejemplo:
 Resuelva la ecuación diferencial x2+y2dx+xydy=0
La ecuación diferencial es homogénea puesMx,y=x2+y2 y Nx,y=xy sonhomogéneas de grado dos
Mtx,ty=tx2+ty2=t2x2+y2→t2M(x,y)
Ntx,ty=tx(ty)=t2xy→t2N(x,y)
Haciendo la sustitución
x2+ux2dx+xuyxdu+udx=0
x21+2u2dx+ux3du=0
x31xdx+u1+2u3du=0
De donde
1xdx+u1+2u2du=0
Integrando y volviendo a las variables x y y obtenemos
Lnx+14Ln1+2yx2=c
x4+2x2y2=c
Note que es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
* Cuando la ecuación diferencial homogéneaestá escrita en la forma
Mx,ydx+Nx,ydy=0
conviene más rescribirla en la forma
dydx=-Mx,yN(x,y)
y aplicar aquí el cambio de variable y=ux
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
xy´=x2-y2+y
Factorizando :
y´=1-yx2+yx
Haciendo la sustitución y=ux
du1-u2=dxx
Integrando obtenemos: Arcsenu=Lnx+Lnc
despejando Y: →arcsenyx=Lncx→→y=Sen(Ln(cx))
Observación: al dividir por el factorx1-u2 se pudo haber perdido algunas soluciones, pero no es solución y 1-x2y2=0→y=±x que son soluciones singulares.

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS
Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en homogéneas.
Ecuaciones reducibles a homogéneas poseen la siguiente forma:

y´=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)

Son homogéneas si se tiene c1 = c2 = 0.

Cuando setiene c1≠ c2≠0 , la anterior ecuación puede transformarse en homogénea mediante una traslación de ejes, es decir, poniendo x = X + h ; y = Y + k, donde h y k vienen dados por el sistema:

a1x+b1y+c1=0 ∧ a2x+b2y+c2=0

Si este sistema no es compatible, siempre podemos poner:
a1x+b1y=r(a2x+b2y)

Con lo que obtenemos:
y´=f(r(a2x+b2y)+c1a2x+b2y+c2)

Y haciendo el cambio:...