Ecuaciones diferenciales lineales

Tema: Ecuaciones Diferenciales

Ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cualesinvolucran derivadas parciales de varias variables.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de lasecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
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Introducción
Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
(1a)
La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:
(1b)
Donde los ai representan funciones dependientes de t.
Una solución de la ecuación(1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.
Definiciones
Ecuación diferencial ordinaria
Sí y es una función desconocida:

de x siendo y(n) la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
(1)
es llamada una ecuación diferencial ordinara (ODE) deorden n. Para funciones vectoriales,
,
la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.
Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

es llamada una ecuación diferencial explicita.
Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.
Se dice que unaecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el termino fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.
Soluciones
Dada una ecuación diferencial

unafunción u: I ⊂ R → R es llamada la solution o curva integral de F, si u es n veces derivable en I, y

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.
Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a nconstantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para complir condiciones iniciales o boundary conditions. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.
Tipos de EDOs y forma de resolución
Existen diversos tipos de ecuaciones diferencialesordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).
Existencia y unicidad de soluciones
El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuacióndiferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.
El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación...