Ecuaciones Diferenciales Ordinaria

Ecuaciones diferenciales ordinarias
Definición:
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadasparciales de varias variables.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferencialesinteresantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
Ecuación diferencial ordinaria:
Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones decambio infinitesimales),
Encontramos integrando
Encontramos integrando
Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son:

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de laderivada. El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece
Ejercicio - Encuentra el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales

Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración
Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas comofunción de la otra, que satisface a la ecuación así.
y = en
Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo 2

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución mas general al problema a esta constante arbitraria se la conoce como constante de integración
Ejemplo 3

Del problemaanterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0
La solución general de la función es para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre variables


Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado


Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o noefectuarse la integración
Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales:
Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes arbitrarias
Demostrar que:

Es una solución de laecuación diferencial


Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de variables satisface la ecuación
Demostrar que

Es una solución particular de la ecuación diferencial


Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos

Tipos de EDOs y forma de resolución
Existen diversos tipos de ecuaciones diferencialesordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).
Método de Euler:
Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función solo...