Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Tema 3

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden
superior
Contenidos
• Definiciones generales
• Problema de Cauchy
• Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
• Resoluci´n de ecuaciones diferenciales y de sistemas lineales de ecuaciones
o
diferenciales utilizando transformadas de Laplace
Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´lagaa
a

Ampliaci´n de C´lculo 12/13. Escuela Polit´cnica Superior
o
a
e

3.1.

1

Tema 3: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Definiciones generales

Ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n
o
Una ecuaci´n diferencial ordinaria (EDO) de orden n es una ecuaci´n que liga la variable indeo
o
pendiente x, una funci´n inc´gnita y = y(x) y sus derivadas sucesivas y 0, y 00 , . . . , y (n) , es
o
o
decir, es una expresi´n, bien de la forma
o
⇣
⌘
F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0
(forma impl´
ıcita)
o bien, si se puede despejar la derivada de mayor orden,
⇣
⌘
y (n) = f x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n 1)

(forma expl´
ıcita)

A la funci´n y = y(x) se le llama funci´n inc´gnita.
o
o
o

Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´ticaAplicada. Universidad de M´laga
a
a

2

Ampliaci´n de C´lculo 12/13. Escuela Polit´cnica Superior
o
a
e

Tema 3: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
En numerosos problemas de mec´nica o teor´ de circuitos el´ctricos, las ecuaciones diferenciales
a
ıa
e
que rigen los procesos son de orden mayor que uno.Veamos unos ejemplos donde la variable
independiente es el tiempo t.

• La figura representa un circuito RLC. Si Q(t) es la carga del condensador y E(t) el voltaje
o tensi´n aplicada al circuito, se tendr´ (teniendo en cuenta la segunda ley de Kircho↵):
o
a
d2 Q
dQ
1
+R
+ Q
dt2
dt
C
que es una ecuaci´n diferencial lineal de coeficientes constantes que permitir´ calcular la carga
o
aque posee el condensador en cada instante de tiempo.
E=L

Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´laga
a
a

Ampliaci´n de C´lculo 12/13. Escuela Polit´cnica Superior
o
a
e

3

Tema 3: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

• Los movimientos vibratorios son otros ejemplos en los cu´les aparecen ecuaciones diferenciales
a
lineales decoeficientes constantes de segundo orden:
⇤ Movimiento arm´nico simple (o vibratorio libre no amortiguado), que se rige mediante la
o
ecuaci´n diferencial
o
d2 x
K
+ x=0
2
dt
m
donde la inc´gnita x(t) es el desplazamiento sufrido por una masa m en funci´n del
o
o
tiempo t, y K es una constante de proporcionalidad.
⇤ Movimiento vibratorio amortiguado, que se rige mediante la ecuaci´ndiferencial
o
d2 x
dx
K
+
+ x=0
2
dt
m dt
m

donde la nueva constante

es una constante de amortiguaci´n positiva.
o

⇤ Movimiento vibratorio forzado, regido mediante la ecuaci´n diferencial
o
d2 x
dx
K
f (t)
+
+ x=
2
dt
m dt
m
m

donde f (t) es la fuerza exterior que act´a sobre la masa oscilante sujeta al resorte.
u

Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´ticaAplicada. Universidad de M´laga
a
a

4

Ampliaci´n de C´lculo 12/13. Escuela Polit´cnica Superior
o
a
e

Tema 3: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Soluci´n de una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n
o
o

⇣
⌘
Dada una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n, F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0, se llama soo
⇣
⌘
0 (x), 00 (x), . . . , (n) (x) =0,
luci´n de dicha ecuaci´n a toda funci´n (x) tal que F x, (x),
o
o
o
es decir, podemos decir que una soluci´n de una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n es toda
o
o
funci´n que sustituida junto con sus derivadas en la ecuaci´n conduce a una identidad.
o
o

Ejemplo 3.1
Comprobar que la funci´n
o

(x) = x3 ln x + x2 es soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
y 00

3 0...