ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Tema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN
Ampliación de Matemáticas
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y Terminología

1

2 Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad de soluciones.

3

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
3.1Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . .
3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . .
3.3 Ecuaciones exactas. Factores integrantes . . . . . . . .
3.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden . . .
4 Métodos numéricos para E.D.O.
4.1 Método de Euler . . . . . . . .
4.2 Método de Euler mejorado . . .
4.3 Método de Runge-Kutta . . . .

1

de
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primer
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4
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orden
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Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y Terminología

Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas
derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente,la ecuación
se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se
dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestra
atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El
orden de una ecuacióndiferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en
dicha ecuación. En su forma más general una ecuación diferencial de orden n se puede escribir como
³
´
F x, y, y 0 , . . . y n) = 0.

Veamos algunos ejemplos:

Ecuación
1) y 000 + 4y = 2
d2 s
2) 2 = −32
dt
3) (y 0 )2 − 3y = ex
∂2u ∂2u
4)
+ 2 =0
∂x2
∂y
5) y−sen y 0 = 0

Tipo
Ordinaria

Orden
3Ordinaria

2

Ordinaria

1

Parcial

2

Ordinaria

1

Una función y = f (x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface
al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo,
1

Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

2

1. Se puede comprobar quey = ln x es una solución de la ecuación xy 00 + y 0 = 0 en el intervalo (0, ∞).
2. Se puede comprobar que y = 1/(x2 − 1) es una solución de y 0 + 2xy 2 = 0 en el intervalo (−1, 1),
pero no en ningún otro intervalo mayor que contenga a éste.
3. Se puede probar que toda solución de la ecuación y 0 + 2y = 0 es de la forma y = Ce−2x .
A partir de ahora nos centraremos fundamentalmente en doscuestiones:
• ¿qué ecuaciones diferenciales tienen solución?
• ¿cómo obtener las soluciones?
Los siguientes ejemplos nos muestran distintas situaciones:
— Hay E.D.O. que carecen de soluciones. Así, por ejemplo, carece de soluciones de valor real la
ecuación
µ ¶2
dy
+1=0
dx
— Hay E.D.O. que tienen una única solución. Esto le sucede, por ejemplo, a la ecuación
µ

dy
dx

¶2

+ y2 = 0que sólo tiene la solución y = 0.
— Hay ecuaciones diferenciales que poseen infinitas soluciones. Así ocurre en los dos siguientes casos:
De la ecuación y 00 − 5y 0 + 6y = 0 son soluciones todas las funciones que se pueden expresar de
la forma y = c1 e2x + c2 e3x , siendo c1 y c2 constantes cualesquiera.
De la ecuación (y 0 )2 −xy 0 +y = 0 son soluciones todas las funciones y = cx−c2 con c...