ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLES SEPARABLES




Definición:
 













TIPOS DE EDOS Y FORMA DE RESOLUCIÓN:
Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).Existencia y unicidad de soluciones:
El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.
El teorema de Peano-Picard demuestra la existenciamediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funcionescuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.
Soluciones analíticas:
Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil deconstruir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existenmétodos generales.
Soluciones numéricas:
Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.







FUNCION LOGÍSTICA
La función logística, curva logística o curva en forma de S es una función matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación deenfermedades epidémicas y difusión en redes sociales. Dicha función constituye un refinamiento del modelo exponencial para el crecimiento de una magnitud.
La función logística simple se define mediante la fórmula:

LA ECUACIÓN DE VERHULST-PEARL
El crecimiento logístico está relacionado con el crecimiento exponencial, de hecho para pequeños valores de la magnitud que presenta crecimiento logístico,el crecimiento logístico se asemeja mucho al crecimiento exponencial. Sin embargo, a partir de un cierto punto el crecimiento se ralentiza, eso hace que la curva pueda representar adecuadamente la propagación de rumores, la extensión de una innovación tecnológica o una epidemia: al principio estas se propagan rápidamente, cada "infectado" o "afectado" por la innovación es susceptible de traspasarel "contagio" a otro individuo que tenga contacto con él, pero a cuando el número de "infectados" crece es más difícil encontrar una persona que previamente no haya estado en contacto con la enfermedad o innovación.
Esta típica aplicación de la ecuación logística es un modelo común del crecimiento poblacional según el cual:
la tasa de reproducción es proporcional a la población existente.
latasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.
El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.
Si P representa el tamaño de la población y t representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:

Donde la constante r define la tasa de crecimiento y K es...