Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 1.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Curso 2010-11

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Ecuaciones diferenciales de primer orden

Descarga de un condensador. Si tenemos un condensador con una capacidad de C faradios cargado inicialmente con Q0 culombios y loconectamos en serie con una resistencia de R ohmios, entonces se produce una corriente eléctrica que descarga el condensador.

i(t)

R

C

1 Puesto que la caída de potencial en el condensador es C q(t), donde q(t) representa la carga eléctrica en el instante t, y la caída de potencial en la resistencia es Ri(t), donde i(t) es la 1 intensidad de corriente, debe ocurrir Ri(t) + C q(t) = 0.Teniendo en cuenta que, como funciones del tiempo, la intensidad de corriente es la derivada de la carga, i(t) = q 0 (t), esta igualdad queda

Rq 0 (t) +

1 q(t) = 0. C

¿Podemos calcular el valor de la carga q(t) para cada instante t > 0 a partir de esta igualdad? Esta pregunta plantea un problema en el que el objeto desconocido que deseamos encontrar es una función, la función q, y no unnúmero, como era lo habitual hasta ahora. La expresión 1 Rq 0 (t) + C q(t) = 0 se llama ecuación diferencial porque en ella aparecen involucradas la función incógnita q y su derivada q0 . ¿Qué es una ecuación diferencial? Una ecuación diferencial es una igualdad en la que aparece una incógnita que debemos calcular, sólo que esta incógnita es una función definida en un intervalo, no un número, y laigualdad involucra la función y una o varias de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales son una de las principales herramientas de las matemáticas porque se usan habitualmente para construir modelos matemáticos de problemas de la ciencia y la ingeniería; en palabras de S. Lefschetz, las ecuaciones diferenciales son “la piedra angular de las matemáticas aplicadas”.

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Lección 1. EcuacionesDiferenciales Ordinarias

Un poco de historia. La historia de las ecuaciones diferenciales comienza a finales del siglo XVII con los trabajos de I. Newton (1642—1727) y G. Leibniz (1646—1716). Con el desarrollo posterior de la mecánica, la física, y el electromagnetismo, las ecuaciones diferenciales encontraron uso creciente como instrumentos para la descripción matemática de los fenómenosnaturales. Hasta el siglo XIX la cuestión primordial era encontrar soluciones explícitas para las ecuaciones diferenciales que surgían en el estudio de problemas en la mecánica y la física. Los trabajos de L. Euler (1707—1783), los Bernoulli (ocho miembros de esta familia suiza fueron matemáticos a lo largo del S. XVIII), J. d’Alembert (1717—1783), J.L. Lagrange (1736—1813) y P.S. Laplace (1749—1827)configuran este período. Se trataba de encontrar métodos de resolución que, para tipos particulares de ecuaciones, permitieran representar las soluciones mediante fórmulas que involucraran los datos de las ecuaciones, o bien como suma de una serie. Para los casos más simples la resolución se alcanzaba por integración y de ahí que se denominara integración de ecuaciones diferenciales al procedimientogeneral de búsqueda de soluciones. En el período que comentamos aparecen los primeros intentos de obtener aproximaciones numéricas de las soluciones, como el método poligonal de Euler. Será a lo largo del siglo XIX cuando las ecuaciones diferenciales sean objeto de una teoría matemática con pretensiones de rigor y generalidad (en paralelo con lo sucedido, por la misma época, en otras ramas de lasmatemáticas). Son matemáticos de ese siglo los que plantean y abordan los problemas básicos que conformarán la teoría de las ecuaciones diferenciales hasta nuestros días: existencia y unicidad de soluciones, estudio de propiedades locales y globales de las soluciones, justificación de los métodos de integración, etc. Contenido de esta lección. En la asignatura de “Cálculo” de primer curso has...