ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias

Cristian j. P. Castillo U.

ÍNDICE GENERAL

PRESENTACIÓN

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

4

1.1 Definición de ecuación diferencial

5

1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales

5

1.2.1 Clasificación según su tipo

6

1.2.2 Clasificación según su orden

6

1.2.3 Clasificación según su linealidado no

7

1.3 Solución de una ecuación diferencial

8

1.4 Problema de valor inicial

11

1.5 Modelos matemáticos

13

ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

15

2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables

16

2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas

21

2.2.1 Funciones homogéneas

21

2.2.2 Resolución de ecuacionesdiferenciales homogéneas

23

2.3 Ecuaciones diferenciales exactas

28

2.4 Factores integrantes

35

2.5 Ecuación diferencial lineal

42

2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli

48

CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior

53
54

3.1.1 Principio de superposición

54

3.1.2 Dependencia eindependencia lineal

54

3.1.3 Wronskiano

55

3.1.4 Ecuación diferencial homogénea

56

3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea

57

3.2 Reducción de orden

58

3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes

63

3.3.1 Ecuaciones de segundo orden

64

3.3.2 Ecuaciones de orden superior

69

3.4 Método de coeficientes indeterminados

75

3.4.1 Enfoque desuperposición

76

3.4.2 Enfoque anulador

89

Cristian Castillo

ÍNDICE GENERAL

3.4.2.1 Operadores diferenciales

89

3.4.2.2 Coeficientes indeterminados

93

3.5 Método de variación de parámetros

100

3.5.1 Ecuaciones de segundo orden

101

3.5.2 Ecuaciones de orden superior

108

3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler

112

3.6.1 Ecuaciones homogéneas

1133.6.2 Ecuaciones no homogéneas

120

CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES

124

4.1 Trayectorias ortogonales

125

4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial

128

4.3 Ley de Newton del enfriamiento

134

4.4 Mezclas

137

4.5 Circuitos eléctricos en serie

140

4.5.1 Circuitos RL

140

4.5.2 Circuitos RC

143

4.6 Absorción de drogas en órganos océlulas

146

4.7 Crecimiento logístico

151

APÉNDICE I. Números complejos

155

APÉNDICE II. Tabla de derivadas

161

APÉNDICE III. Tabla de integrales

163

BIBLIOGRAFÍA

175

Cristian Castillo

PRESENTACIÓN

En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan
modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen deciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general,
pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una
función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación
diferencial.

La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los
matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulliresolvieron las primeras

PRESENTACIÓN

ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y
Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y
Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial,
así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.

Estos primerosdescubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones
nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la
resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en
problemas de modelado.

Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han
convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de
estudio...