ecuaciones diferenciales ordinarias

ufeff4) El método proporciona predicciones libres de error si la función en turno (es decir,
la solución de la ecuación diferencial) es lineal, debido a que para una línea
recta, la segundaderivada podría ser cero.
Esta última conclusión tiene sentido intuitivo, ya que el método de Euler usa segmento
de línea recta para aproximar la solución. De ahí que se haga referencia al método deEuler como uno de primer orden.

5) La solución numérica de los EDO involucra dos tipos de error:
1. Errores de truncamiento, o discretización, causados por la naturaleza de las técnicas empleadaspara aproximar los valores de y.
2. Errores de redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas
que puede retener una computadora.
Se puede obtener cierto conocimientoacerca de la magnitud y propiedades del error
de truncamiento al derivar el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la ecuación diferencial sujeta aintegración será de la forma general:
y = f(x;y)
donde y ' = dy/dx, x y y son las variables independiente y dependiente, respectivamente.
Si la solución (es decir, la función que describe elcomportamiento de y) tiene derivadas continuas, puede representarse por una expansión de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio (x¡, y¡),

donde h = x¡ j — x¡yRn , termino remanente,definido como:

Es posible desarrollar una forma alternativa al sustituir las ecuaciones, para obtener

Al comparar las ecuaciones, puede verse que el método de Euler corresponde a la serie de Taylorhasta e incluyendo el término f(x¡, y¡)h. Además, la comparación indica que ocurre un error de truncamiento porque aproximamos la solución verdadera mediante un número finito de términos de la serie deTaylor. De esta forma truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solución verdadera. Por ejemplo, el error de truncamiento en el método de Euler es atribuible a los términos remanentes en la serie...