Ecuaciones diferenciales ordinarias




UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA




ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es una relación matemática que contiene derivadas de una función desconocida de una o más variables.

Ejm:




Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial ordinaria: Es cuando una ecuación presenta soloderivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.



Ecuación diferencial parcial: Son las ecuaciones que presentan siempre las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a 2 o más variables independientes.




Orden y grado de una ecuación diferencial

Orden: Es el orden de la mayor derivada que interviene enla ecuación diferencial.
Grado: Es la potencia entera del orden de la ecuación diferencial.


Ecuación diferencial de primer orden y primer grado
Son las ecuaciones diferenciales de la forma:












MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Ecuaciones diferenciales de variable separable
Es ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado que se representa de la siguiente manera:Donde M es una función solo de “x” y N es una función solo de “y”, entonces a la ecuación anterior se le denomina "ecuación diferencial ordinaria de variable separable" y la solución general se obtiene por integración directa, es decir:



Donde C es la constante de integracion.


Ejm: Resolver


A la ecuación diferencial dada la expresaremos en la forma:


Separando lavariables


Por lo tanto:


Ejm: Resolver

Separando:


Integrando se tiene:


Por lo tanto:




Ejm: Resolver, si para x = 3 se tiene que y = 60°



Separando la variable



Cuando x = 3, y = 60°; entonces:

Por lo tanto:



Ejm: Resolver la siguiente ecuación diferencial si se sabe que para x = 1, y = 1


Separando las variables:


Cuando x = 1,y = 1; entonces:

Por lo tanto:



Función homogénea

Diremos que la función es homogénea de grado k en x e y, si y sólo si, cumple con la condición siguiente:


Ecuaciones diferenciales homogéneas
De ese modo diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado de la forma:


Es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y.Ecuaciones diferenciales homogéneas
De ese modo diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado de la forma:


Es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y.

Solución de una ecuación diferencial homogénea
Consideremos una ecuación deferencial ordinaria homogénea:

… (1)
Entonces
y … (2)

Esto es porque la ecuacióndiferencial (1) es homogénea, haciendo en la ecuación (2) se tiene:

… (3)
Donde
Es decir:



Donde
Es decir:

Como

Reemplazando (3), (4), (5) en (1) se tiene:



Agrupando y separando la variable se tiene:



Que es una ecuación diferencial de variable separable.

Análogamente se hace para


Ejm: Resolver la siguiente ecuación diferencial



Hacemos:Reemplazando:






Ejm: Resolver la siguiente ecuación diferencial





Hacemos

Reemplazando:






Ejm: Resolver


Hacemos

Reemplazando:




Como


Ejm: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial



Hacemos

Reemplazando




Ejm: resolver la siguiente ecuación diferencial homogénea



Hacemos

Reemplazando






Ecuacióndiferencial reducible a homogénea
Sea la ecuación diferencial:



Para resolverla, hay que distinguir dos casos:

Si ; se hace , luego de esta sustitución le ecuación diferencial se convierte en una ecuación diferencial de variable separable.
Supongamos en primer lugar que las rectas

y

Se cortan en el punto . Así, tendremos que:



Hagamos ahora los cambios de variables:...