Ecuaciones diferenciales parciales

Elementos en ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Pongo en el ciberespacio un cursillo que dicté en la Universidad Nacional de Colombia en 1984, sobre las nociones elementales en ecuaciones diferenciales parciales y estoy convecido que puede ser de gran utilidad para aquellas personas que estén estudiando las carreras de física teórica e ingeniería. § 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN1.1. INTRODUCCIÓN. Una ecuación diferencial parcial para una función ?ÐBß Cß á Ñ con derivadas parciales ?B ß ?C ß ?BB ß ?BC ß ?CC ,á es una relación de la forma J aBß Cß á ß ?ß ?B ß ?C ß ?BB ß ?BC ß ?CC ,á b œ ! a"b donde J es una función de las variables Bß Cß á ß ?ß ?B ß ?C ß ?BB ß ?BC ß ?CC ,á en donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función ?aBß Cß á bß es solución dea"b, si en alguna región del espacio de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en Bß Cß á Se puede también considerar un sistema de ecuaciones diferenciales parciales; en este caso se consideran varias expresiones como las de arriba conteniendo una o más incógnitas y sus derivadas parciales. Como en la teoría de las ecuaciones diferencialesordinarias una ecuación diferencial parcial es de orden 8, si las derivadas de mayor orden que ocurren en J son de orden 8. Las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo de función J considerada. En particular tenemos la ecuación diferencial parcial lineal si J es lineal en la función incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es másgeneral, si J es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden. Las ecuaciones diferenciales parciales ocurren frecuentemente y en forma enteramente natural en problemas de varias ramas de la matemática, como se presenta en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO

1. Una condición necesaria y suficiente para que una forma diferencial Q aBß Cb.B  R aBß C b.C sea una diferencial exacta, es quecumpla la condición de integrabilidad siguiente: `Q `R `C œ `B Esta se puede considerar como una ecuación diferencial parcial en las variables desconocidas Q y R , y cuya solución general está dada por

Darío Sánchez H.

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`9 `C

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Q œ `9 ß Rœ `B donde 9 es una función arbitraria .
EJEMPLO

4. Dadas dos funciones diferenciables concontinuidad ? aBß Cb y @aBß C b, la condición necesaria y suficiente para que ellas formen las partes real e imaginaria de una función analítica, 0 aBß C b œ ?  3@ œ 0 aB  3C b son las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann ?B œ @C ß ?C œ  @B Este es un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales lineales para las funciones ? y @. Ellas pueden obtenerse formalmente mediante la condición `a?3@ßB3Cb œ! ` aBßCb
EJEMPLO

3. Dadas dos funciones ? œ ?aBß C b y @ œ @aBß C b, la función ? se dice fuertemente dependiente de @, si existe una función L a@b tal que ?aBß Cb œ L a@aBß C bb # # siempre y cuando @B  @C Á !. Dos funciones serán fuertemente dependientes si su jacobiano es nulo. Esto es, ?B ?C  ` a?ß@b œ! ` aBßCb œ º @ @C º B Así para @ dado, esto indica que la ecuacióndiferencial parcial de primer orden para ?, ?B @C  @B ?C œ !, tiene una solución general @ œ L a@aBß C bb donde L es una función diferenciable arbitraria. Por ejemplo, supóngase @aBß C b œ B#  C # ß entonces @B œ #Bß @C œ #C y la ecuación diferencial parcial C?B  B?C œ ! tendrá por solución a ? œ L aB#  C # b.
EJEMPLO

2. El problema de hallar un factor integrante para la ecuación diferencialordinaria de primer orden Q aBß Cb.B  R aBß C b.C œ ! a#b esto es, una función .aBß Cb para la cual .Q .B  .R .C sea una forma diferencial exacta, conduce a la ecuación ` .Q ` .R a $b `C œ `B Esta es una ecuación diferencial parcial de primer orden para .. El problema de hallar la solución de la ecuación diferencial ordinaria es así reducido al de hallar una solución de la ecuación diferencial...