ecuaciones diferenciales parciales

Introducci´n a las Ecuaciones
o
en Derivadas Parciales
(EDP’s)

Sixto Romero
Francisco J. Moreno
Isabel M. Rodr´
ıguez

T´
ıtulo de la obra original
Introducci´n a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
o
(EDP’s)

c Copyright: 2001. Autores
Sixto Romero, Francisco J. Moreno, Isabel M. Rodr´
ıguez

Reservados todos los derechos de publicaci´n, repreducci´n,pr´stamo o cualquier otra
o
o
e
forma de expresi´n de este ejemplar, por los autores.
o

Universidad de Huelva
Escuela Polit´cnica Superior de La R´bida
e
a
21819. Palos de la Frontera 8Huelva)

Edita:Servicio de Publicaciones. Universidad de Huelva
Printed in Spain
ISBN:
DL:
Fotocomposici´n: Los autores
o
Impresi´n:
o

´
Indice general
1. Nociones sobre las ecuaciones enderivadas parciales (EDP’s)

9

1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
o
1.2. Definici´n. Algunos conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
o
1.3. Significado geom´trico de las soluciones general y particular . . . . . . . . . . 15
e
1.4. EDP’s que surgen de la eliminaci´n de funciones arbitrarias . . . . . . . . . . 17o
1.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales. Propiedades

25

2.1. Ecuaci´n en derivadas parciales lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
o
2.2. Propiedades de lassoluciones de las EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Clasificaci´n de las EDP’s de segundo orden de dos variables independientes . 29
o
2.4. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1. Ecuaciones de tipo hiperb´lico . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31
o
2.5.2. Ecuaciones de tipo parab´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
o
2.5.3. Ecuaciones de tipo el´
ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6. Planteamiento de problemas para las EDP’s de segundo orden . . . . . . . . . 33

3

´
INDICE GENERAL

4

2.7. M´todo de separaci´n de variables: caso pr´ctico . . . . . . . . .. . . . . . . 33
e
o
a
2.8. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.1. M´todo de separaci´n de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
e
o
2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
3. Ecuaciones de tipo hiperb´lico
o

45

3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
o
3.2. Problemas que dan lugar a vibraciones u oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Problema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2. Modelo matem´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 48
a
3.2.3. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.4. Generalizaci´n del problema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . 52
o
3.3. Ecuaci´n ondulatoria unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
o
3.3.1. Soluci´n del problema de Cauchy (problema inicial) para una cuerda
o
ilimitada . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2. Casos particulares de la f´rmula de D’ Alembert . . . . . . . . . . . . 58
o
3.3.3.

¿C´mo se debe plantear el problema de forma correcta ? . . . . . . . 61
o

3.3.4. Ejemplo de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.5. Otro ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4....