Ecuaciones Diferenciales; Reduccion De Orden

Ecuaciones Diferenciales
Reducción de orden
Cesar Arenivas E. Leonel Aleman G.

Reducción de orden
• Teorema • Demostración • Ejemplos

Teorema
Si y1 es una solución de la ecuacióny”+p(x)y’+q(x)y=0 en un intervalo I en donde p y q son continuas y y1(x) no se anula, entonces una segunda solución independiente linealmente de la ecuación y”+p(x)y’+q(x)y=0 en I esta dada por
y2 ( x)  y1 ( x)  
 p ( x ) dx

 y1( x ) 2

dx

Demostración
Puede demostrarse que si y1 es un solución conocida de una ecuación lineal homogénea de n-ésimo orden, entonces la sustitución y2=uy1reduce esta ecuación de n-ésimo orden a una ecuación lineal homogénea de orden n-1 en u=v’; de ahí el termino reducción de orden. Por desgracia, la ecuación resultante de orden n-1 por lo general tienecoeficientes variables, de modo que si n>2 puede ser tan difícil de resolver como la ecuación original de orden n.

En consecuencia el método de reducción de orden es útil para resolver principalmenteecuaciones de segundo orden.

INTRODUCCIÓN: anteriormente vimos que la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

a2 ( x) y  a1 ( x) y  a0 ( x) y  0
y c1 y1  c2 y2 Era una combinación lineal , donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I. Al comienzo de este subtema, se examinará un métodopara determinar estas soluciones cuando los coeficientes de la ED en (1) son constantes. Este método, que es un ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y produce sólo una solución simpley1 de la ED. Resulta que se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación homogénea (1) (aún cuando los coeficientes en (1) son variables) siempre que se conozca una solución no trivial y1de la ED. La idea básica que se describe en este subtema es que la ecuación (1) se puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene la solución...