ecuaciones diferenciales taller isabel carmona

TRABAJO 1ER CORTE
Ejercicio 1
Demostración de las ecuaciones paramétricas de La braquistócrona. Uno de los problemas más famosos de la historia de las matemáticas es el de la braquistócrona: lacurva a lo largo de la cual una partícula se deslizará sin rozamiento en un tiempo mínimo, de un punto P a otro Q, donde éste último se encuentra más bajo que el primero, pero no directamente debajo.Al resolver este problema es conveniente tomar el origen como el punto superior P y orientar los ejes de forma que el eje Y sea vertical hacia abajo. El punto inferior tiene las coordenadas(X0,Y0).Entonces, es posible demostrar que la curva de tiempo mínimo queda definida por una función Y=µ(x) que satisface la ecuación diferencial 
donde  es cierta constante positiva a determinar.
a)Despejar  de la ecuación. ¿Por qué es necesario elegir la raíz cuadrada positiva?
b) Hacer el siguiente cambio de variables, y demostrar que la ecuación obtenida en el apartado a) toma entonces la forma c) Si se toma, demostrar que la solución de la ecuación anterior que pasa por el origen se puede expresar por 



Estas ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la solución de la primeraecuación, que pasa por . La gráfica de dichas ecuaciones se llama cicloide. Es posible eliminar  y obtener la solución en la forma; sin embargo, resulta más fácil usar las ecuaciones paramétricas. Si se haceuna elección adecuada de la constante, entonces la cicloide también pasa por el punto  y es la solución del problema de la braquistócrona. Hallar la constante  para el caso concreto.





Laobservación crucial que hay que hacer al respecto es que la medida del segmento de recta OR, en azul en la Figura 2, es igual a la medida del arco PR, también en azul, puesto que el círculo rueda sinresbalarse. Ahora bien, la medida del arco PR es bt, de manera que tenemos:

Ahora bien,   y  , con lo llegamos a las ecuaciones buscadas:

Hay algo que explicar en esta parametrización. Si se...