ecuaciones diferenciales - variables separables

UNIDAD I. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
1.1 ECUACIONES SEPARABLES
Una ecuación diferencial en la que tenemos, en un lado de la ecuación, una expresión que
depende de una sola variable, multiplicadapor la diferencial de la misma, y en el otro lado
una expresión que depende de la otra variable, multiplicada por su diferencial, es llamada
ecuación separable o de variables separadas, ya que cadauno de los lados de la ecuación
depende sólo de una de las variables.
Así pues, una ecuación diferencial (ordinaria), en las variables x y y, es una ecuación
separable si se puede escribir en laforma:
Q( y ) dy = P ( x) dx

(1.1)

Ahora bien, integrando ambos miembros e la ecuación (1.1)

∫ Q( y) dy = ∫ P( x)dx
De manera que la solución de la ecuación (1.6) es la familia de curvasdefinida mediante:
q ( y) = p ( x) + c

(1.2)

El proceso para escribir una ecuación diferencial dada, en la forma de la ecuación (1.1) se
denomina separación de variables. Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 1.1
Resolver

(e

y

+ 1) e − y dx + ( e x + 1 ) e − x dy = 0
2

3

Solución: para separar las variables dividimos entre ( e y + 1) e − y y ( e x + 1) e − x , o bien
2multiplicamos por ( e y + 1)

(e

x

+ 1)

−3

−2

e y y por ( e x + 1)

ex dx + ( e y + 1 )

−2

−3

e x , obteniendo la ecuación:

e y dy = 0

Y al integrar resulta:

∫(e
−

x+ 1)

−3

e x dx +

1

2 ( e + 1)
x

2

−

∫ (e

y

+ 1)

1
= C
( e + 1)
y

O bien:
(e x + 1)− 2 + 2 (e y + 1) − 1 = c

−2

ey dy = 0

3

2

M. CarmenHernández, Ismael Arcos. Ecuaciones diferenciales. Guía para el alumno

Ejemplo 1.2
Resolver la ecuación: sen3xdx + 2 y cos3 3 xdy = 0
Solución: Si dividimos la ecuación entre cos3 3x se obtiene:
sen3x
dx+ 2 ydy = 0
cos3 3x
De manera que al integrar resulta:
1
+ y2 = C
2
6 cos 3 x

Ejemplo 1.3
Resolver la ecuación:

dy xy + 2 y − x − 2
=
dx xy − 3 y + x − 3

Solución: para separar...